これを私の元の質問として:HS (√を必要とするRHSと最初の(不運な)推測が存在するかどうかを知っていますか?
ステップ?Θ(κ−−√)
質問への答えは「いいえ」です。この回答のアイデアは、Guido Kanschatからのコメントに由来しています。
主張:任意の指定された条件番号、行列Aが存在します。その条件番号に対して、CGアルゴリズムは最大で2つのステップで終了します(任意の指定されたRHSおよび初期推定に対して)。kA
検討ここで、Aは= dをI G(1 、κ 、κ 、... 、κ )。このとき、Aの条件数はκです。ましょうbは∈ R N RHSこと、の固有値示すAのようにλ Iここで、
λ I = { 1 iは= 1 κ I ≠ 1。A∈Rn×nA=diag(1,κ,κ,…,κ)Aκb∈RnAλi
λi={1κi=1i≠1.
まずケース考える、初期推定は、ゼロです。示すX (2 ) ∈ R n個の第二の推定値としてA - 1、B CGアルゴリズムから。我々は示しXを(2 ) = A - 1件の B示すによって⟨ X (2 ) - A - 1、B 、A (X (2 ) - Ax(0)∈Rnx(2)∈RnA−1bx(2)=A−1b。確かに、⟨x(2)−A−1b,A(x(2)−A−1b)⟩=0
⟨x(2)−A−1b,A(x(2)−A−1b)⟩=∥∥x(2)−A−1b∥∥2A=minp∈poly1∥∥(p(A)−A−1)b∥∥2A=minp∈poly1∑i=1n(p(λi)−λ−1i)2λib2i≤∑i=1n(pˆ(λi)−λ−1i)2λib2i=0
pˆpˆ(x)=(1+κ−x)/κx(0)=0
x(0)≠0x(2)=x(2)¯¯¯¯¯¯¯¯+x(0)x(2)¯¯¯¯¯¯¯¯bb¯¯=b−Ax(0)