数値解析における「事前」と「事後」の誤差推定の違いは何ですか？

有限要素法（他の数値法についても少し）を学びましたが、これら2つのエラーとそれらの違いの正確な定義はわかりませんか？

誤差推定値は、通常の形態を有する ここで、uはあなたが興味のある厳密解は、であるU Hは、計算近似解さhは、あなたがコントロールできるパラメータ近似値であり、C （H ）は（特に）hの関数です。有限要素法では、uは偏微分方程式の解であり、u hはメッシュサイズhのメッシュの有限要素解です。

$$\|u - u_h\| \leq C(h),$$ $u$$u_h$$h$$C(h)$$h$$u$$u_h$$h$、しかし、あなたは（正則化パラメータと逆問題で同じ構造を持つの代わりにH）または方程式や最適化問題を解くための反復法（反復インデックスでK -あるいはむしろ1 / K -の代わりにH） 。このような見積もりの​​ポイントは、「範囲内になりたい場合、$\alpha$$h$$k$$1/k$$h$$10^{-3}$正確な解の、をどれだけ小さく選択しなければならないか？」ことです。$h$

先験的推定と事後推定の違いは、右辺の形式です。$C(h)$

• 先験的推定値、右側が依存する（通常明示）とではなく、オン。たとえば、ポアソン方程式の有限要素近似の典型的な先験的推定の形式は、 ドメインおよびメッシュのジオメトリに依存 する定数持ちます。原則として、右辺は（したがって名前）を計算する前に評価できるため、何かを解く前にを選択できます。実際には、もも不明です（$h$$u$$u_h$‖ U - U H ‖ L 2 ≤ C H 2 | あなた| H 2、c u h h c | あなた| H 2 u c | あなた$-\Delta u = f$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$$ $c$$u_h$$h$$c$$|u|_{H^2}$$u$そもそも探しているものです）が、証明を注意深く調べてについて次数または大きさの推定値を得ることができますデータ（既知）を使用します。主な用途は定性的推定です。エラーを4倍小さくしたい場合は、を半分にする必要があることを示しています。$c$$|u|$$f$$h$

• 事後推定値、右側が依存するとではなく、上の。単純な残留ベースポアソン方程式の事後推定値は次のようになり ‖ U - U H ‖ L 2 ≤ のC H ‖ F + Δ U H ‖ H - 1、 理論的に評価することができた後に計算Uの時間。実際には、H − 1$h$$u_h$$u$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$$ $u_h$$H^{-1}$あなたがさらに取得する右側を操作したいので、ノルムは、計算する問題である要素ごと結合 第1の和が要素の上である K三角測量の、 H Kはの大きさ Kは、第2の和は、すべての要素の境界上にある F、及び J （∇ U H）は、通常の誘導体のジャンプ示し U Hを横断し F。これは、定数 cを除き、 u hを取得した後に完全に計算可能になりました。繰り返しますが、使用は主に定性的です-どの要素が他の要素よりも大きな誤差寄与を与えるかを示すため、 hを減らす代わりに $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$$ $K$$h_K$$K$$F$$j(\nabla u_h)$$u_h$$F$$u_h$$c$$h$一様に、エラーの寄与が大きい要素を選択し、それらを細分化することで要素を小さくします。これは、適応有限要素法の基礎です。