多孔質媒体における圧縮性非等温流の有限差分スキーム

私の課題は、多孔質媒体でのガス燃焼を説明する次の方程式系を解くことです。

1）継続性

$\varepsilon \frac{\partial \rho_g}{\partial t} +\frac{\partial}{\partial x} \left(\rho_g u_x\right)=0$

2）ダーシー法（勢い）

$u_x=-\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$

3）状態方程式、変数温度に注意

$\rho_g=\frac{M_Rp}{RT_g(x)}$

4）ガスのエネルギー方程式。

5）固相のエネルギー方程式

速度、圧力、密度が一定であると仮定された場合、つまり最初の3つの方程式が脱落した場合の解決に成功しました。しかし、ガス力学の部分を解決することは問題であることが判明しました。

1に風上スキームを適用する（ここで提案されているように：連続方程式の良い有限差分）タイムステップで非常に厳しい安定性基準を達成し、1e-2の空間で1e-6と低くするように強制されます等温の場合でも、とりあえず燃焼を無視してタイムステップ。そして、エネルギー方程式を解くには少なくとも1e-3が必要です。

最初の3つの方程式は、次のように結合することもできます。

6） $\frac{\partial p}{\partial t} +C\frac{\partial^2}{\partial x^2} \left(p^2 \right)=0$

しかし、等温の場合のみなので、それはほとんど役に立ちません。

人々は1）-5）と6）を以前に解決したことを知っていますが、彼らが使用したスキームの説明は見つかりませんでした。具体的には多孔質媒体の圧縮性流れに関する記事を検索してみましたが、これらはすべて非常に複雑なモデル（多相、変形可能固体など）を扱い、非常に複雑な解法を使用しています。

（1）-（3）の良いFDスキームを誰かが提案したり、私がしたように風上を使用した場合に安定性基準がどのように形成されるかを言うことができますか？

finite-difference fluid-dynamics

— ティアム
ソース

絶対差分法を使用する必要がある理由はありますか？流体力学シミュレーションは、本来保守的であるため、有限体積法を使用してより自然に解決されます。

— ポール

ええ、はい、その理由は、メソッドを変更すると、現在持っているすべてのコードを書き直すことになるということです。このプロジェクトの締め切りは、1週間未満です。とにかく報告することができますが、一番下に行きたいです:) 有限ボリュームのソリューションを投稿してください！

— tiam

@Paul True、ただしOPが非均一グリッドで作業している場合のみ。均一な長方形グリッドの場合、有限体積の離散化は有限差分に退化します。私の意見では、申請が許せば、FDは基礎を学ぶのに最適であり、それからFVが次のステップです。

— milancurcic

@ Paul / @ IRO-botそれよりも微妙です。高次の保守的な差分法が存在します。特に単純なメソッドの場合、同等性が非常に多いため、メソッドを特定の方向に拡張するときに、メソッドのどのコンポーネントを固定したままにしておくかを尋ねた場合にのみ、ある程度の選択が意味を持ちます。

— Jed Brown

M_{R P}

$M_{RP}$

$\frac{u\Delta t}{\Delta x} < 1$

不連続ガラーキン（DG）法では、強い安定性を維持する（SSP）ルンゲクッタ法の使用が一般的になっています。これらは明示的な方法ですが、単純なフォワードオイラー法とは異なり、通常のクーラント数の倍数を使用できることがよくあります。つまり、時間ステップを長くすることができますが、時間ステップあたりのコストが高くなります。SSPRKメソッドを問題に適合させることは可能かもしれませんが、DGメソッドに対してのみ行われることを確認しただけで、その適用性についての私の理解は限られています。

それらは無条件に安定しているので、暗黙の時間メソッドを使用することが可能かもしれません。精度を許容レベルに保つために、タイムステップの元の制限に戻る場合があります。LeVequeの本は、時間の離散化と空間微分の中央差分に逆オイラー法またはアダムス法を使用するとうまくいくことを示唆しているようです。

私は有限ボリューム法、または挑戦が必要な場合はDG法への投票に2番目です。

— ケン
ソース