代数的マルチグリッド：補間と制限の積がノルム1の結果にならないのはなぜですか？

私は現在、ブリッグスらによる第8章の「マルチグリッドチュートリアル」で作業しています。

補間演算子の構成は次のとおりです。

次に、制限演算子と細かいグリッド演算子の構築は次のように与えられます：

3つのグリッドポイントx0、x1、x2があり、中央のグリッドポイントx1は細かく、他のグリッドポイントは粗いものと仮定します。真ん中のものはによって補間されx1 = x0*w0 + x2*w2ます。したがって、補間演算子は（Matlabで）：

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

制限演算子は次のとおりです。

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

では、制限してから直接補間するとどうなるのか、Iそしてandの乗算になる結果を見てみましょうtranspose(I)。

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

この行列は恒等行列のようなものであるか、少なくともノルム1か何かを持つと思います。しかし、たとえばw0 = w2 = 0.5のようにx = [1、1、1]を適用すると、[1.5 1.5 1.5]が得られます。繰り返し適用される制限補間操作は、少なくとも何かに収束すると思います。ただし、その場合、すべてのベクトル成分は、制限補間ごとに1.5倍されます。それは私には非常に奇妙に思えます。

誰が何が起こっているのか説明できますか？

$x$

$I^TI$

$E$$EI$$EI$$(EI)(EI)=EI$