パラメータに応じて継続的に固有空間基底

エルミート行列があり、と 2つのパラメーターに依存しています。私は2つの近い点でそれを対角化するとき及び私は（二近い固有値取得及び）と2つの対応する固有空間（およびと同じ寸法の）を。 $\mathbf{H}$ $x$ $y$ $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$ $\varepsilon_1$ $\varepsilon_2$ $S_1$ $S_2$

それらは同じ行列の固有値ではないことに注意してください。と 2つの異なる行列があります。 $\mathbf{H}_1=\mathbf{H}(x_1,y_1)$ $\mathbf{H}_2=\mathbf{H}(x_2,y_2)$

ポイントのメッシュあり、補間を使用して任意のポイントで固有値と固有空間を見つけたいと考えています。問題は、行列が数値的に対角化されているため、と基底が完全に独立していることです。たとえ及びに非常に近い基底ベクトルは非常に異なる成分を有することができるされています。 $(x_i,y_i)$ $S_1$ $S_2$ $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$

補間には、と継続的に依存する基底が必要です。つまり、固有空間とに近いほど、基底ベクトルに近いはずです。 $x$ $y$ $S_1$ $S_2$

場合及び次いで、3次元ユークリッド空間S2における基準を選択するための良い方法で平野である平野の交点である線を中心S1の基礎を回転させることです。複雑な多次元空間でこれに類似したものはありますか？ $S_1$ $S_2$

eigensystem discretization

— マクシム・ゾルデフ
ソース

$t$

連続する固有空間を持つためには、関連する固有値がほとんど交差しないことを前提とする必要があります。（固有値がほぼ交差している場合、固有値曲線は接触しませんが、基本的に固有空間が交換されることがあります。これは対称パラメトリック固有値問題で定期的に発生し、回避された交差の現象と呼ばれます。）

$H(t)$ $\lambda(t)$ $Q_k$ $t=t_k$ $Q(t)=Q_0+\sum_j \Phi_j(t) Z_j$ $\Phi_j(t)$ $Q_0$ $Q_k$ $Z_j$ $Y_k$ $Q_k Y_k - \sum_j \Phi_j(t_k) Z_j \approx Q_0$

2つのパラメーターを使用して、BスプラインをFEM形状関数に置き換えます。最小二乗問題が大きくなる可能性があり、直接的な解決策が実行不可能な場合に問題を解決できるようにするには、適切な追加のトリックが必要です。

— アーノルド・ノイマイヤー
ソース

Φ

$\Phi$

j

$j$

Y_{k}

$Y_k$

Q_{k}

$Q_k$

Y_{k}

$Y_k$

k

$k$