FEMで集中質量行列を作成する方法

有限要素法、たとえば熱方程式を使用して時間依存のPDEを解く場合、明示的な時間ステップを使用すると、質量行列のために線形システムを解かなければなりません。たとえば、熱方程式の例に固執すると、

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

次に、フォワードオイラーを使用して

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

したがって、明示的な時間ステップ方式を使用している場合でも、線形システムを解く必要があります。明示的なスキームを使用する主な利点は線形システムを解く必要がないことなので、これは明らかに大きな問題です。この問題を回避する一般的な方法は、通常の（一貫性のある）質量行列を対角行列に変換し、逆変換を簡単にする「集中」質量行列を使用することです。グーグル検索を行ったとき、この集中質量行列がどのように作成されるかはまだ完全にはわかりません。たとえば、彼の論文、ADVECTION-DEFUSION EQUATIONの質量ランピングに関する数値実験Edson Wendland HarryとEdmar Schulzにより、対角線上にすべての係数を単純に合計することにより、集中質量行列を作成します。したがって、たとえば、元の一貫した質量行列が次の場合、

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

集中質量行列は次のようになります。

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

私の質問は次のとおりです。これは、集中質量行列を作成する正しい方法ですか？精度に関して、完全に一貫した質量行列の代わりに集中質量行列を使用する場合、どのような欠点がありますか？私が言及した論文の著者は、集中質量行列を使用しないことを実際に提案しましたが、そのような行列を使用する主な理由は明示的な方法のためであると私が考える奇妙な暗黙の時間ステップスキームのみを使用しているようです。

注：熱方程式を解くためにフォワードオイラーを使用することはありません。これは単なる例です。また、問題が重要な場合は、非線形項が明示的に扱われ、拡散項が暗黙的に扱われるナビエストークス方程式を解くことです。

ありがとう

finite-element time-integration navier-stokes

— ジェームズ
ソース

O (n^{2})

$O(n^{2})$

はい、直接ソルバーを使用している場合はそれを行うことができますが、PCGまたは他の反復ソルバーを使用している場合、それは役に立たないと思います

— James

個人的には、質量が数学的に集中することは信用していません。計算的には、明示的な時間ステップを目的としない限り、利点はありません。その場合、対角質量行列を使用すると、はるかに簡単に解くことができます。暗黙的な時間ステップ方式を使用している場合、マトリックスのスパース性は得られません。一貫した行列を使用しないことで、その時点でエラーが発生するだけだと思います。

— ポール

四角形に対してFried and Markus（1975）が切り捨てエラーの損失を回避するためにロバトポイントでノードを使用する方法について誰も言及しなかったことに驚いています。キュービックになるまで問題ではありませんが、セレンディピティ要素は除外されます。アイデアは三角形にも拡張されましたが、特別な基底と求積法が必要です。

— L.ヤング

あるトピックから別のトピックに変更される可能性があるため（また、使用している要素の種類によっても異なるため）、これに対する明確な回答はないと思います。それについて話している最近の論文もいくつかあります[2]。したがって、これはクローズドディスカッションではありません。さらに、ビームまたはシェルとして運動学的拘束のある要素がある場合、（少なくとも力学的には）異なる慣性コンポーネントを持つことができます。

Zienkiewicz（[1]、セクション16.2.4を参照）は、質量行列を集中させる3つの方法について説明しています。

$M_{i i}^{(lumped)} = \sum_{j} M_{i j}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
$M_{i i}^{(lumped)} = c M_{i i}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
$M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

すべてのメソッドがすべてのケースで機能するわけではありません。たとえば、行合計メソッドは、負の質量につながるため、8ノードのセレンディピティ要素では機能しません。

要素の総質量（した係数でメソッド2を使用しました。 $M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

M_{i i}^{(lumped)} = \frac{M_{tot}}{T r (M)} M_{i i} (no summation on i) .

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

また、方法3をLobattoノードと呼ばれるいわゆるスペクトル要素法（これらの場所をノードおよび積分点として使用）とともに使用しました。これは自動的に対角行列になります。

[1]から、いくつかの要素タイプのメソッドのいくつかを説明するこの図を見ることができます一部の2次元有限要素の質量集中

参考文献

[1] Zhu、J.、ZRL Taylor、およびOC Zienkiewicz。「有限要素法：その基礎と基礎。」（2005）：54-102。

[2] Felippa、Carlos A.、Qiong Guo、およびKC Park。"質量行列テンプレート：一般的な説明と1dの例。" 工学における計算手法のアーカイブ22.1（2015）：1-65。

— ニコワロ
ソース