直接ソルバーは行列の条件数の影響を受けますか？

比較的小さな問題、つまりLUのような直接的な方法で処理できる問題を解決する場合、線形演算子の条件数は解の精度に影響しますか？

私が取り組んでいる研究上の問題の1つは、線形連立方程式を解くための最適化手法の開発に焦点を当てています。

これは、反復法と前提条件を使用する場合に考慮する重要な要素ですが、今は小さな問題（1M自由度未満）を解いているため、今のところ直接ソルバーが適切です。

はい。反復法または直接法のどちらでシステムを解くかを選択するかどうかに関係なく、浮動小数点演算では条件番号が常に重要になります。近似解の相対精度$Ax = b$ ピボットを使用したLU分解から得られる $O(\kappa(A) \cdot \varepsilon)$、 どこ $\varepsilon$ は、次のような最小の浮動小数点数です。 $1 + \varepsilon > 1$あなたのマシンで。64ビットのfloatを使用している場合、$\varepsilon \approx 10^{-16}$ので、行列の条件数が $10^{12}$ ソリューションの精度が4桁であることのみを保証できます。

反復ソルバーの場合、行列条件数は、アルゴリズムの理論的な収束率を決定することが多いため、無限精度の計算であってもショーに入ります。直接ソルバーでは、コンピューターが有限精度で動作するという事実を考慮した場合にのみ、これが考慮事項になります。