対称一般化固有値問題に対してシルベスター慣性法の一般化はありますか？

私は、対称固有値問題を解決するためにことを知っている、私たちはの固有値の数であるシルベスターの慣性法則、使用することができますAを未満の負のエントリ数と等しいD対角行列Dはから来ているのLDLの分解A - I = L D L T。次に、二分法により、必要に応じてすべてまたは一部の固有値を見つけることができます。私は解決され、対称一般化固有値問題のシルベスター慣性法の一般化、そこに存在するかどうかを知りたい、$Ax = \lambda x$$A$$a$$D$$D$$A-aI = LDL^{T}$A $Ax= \lambda Bx$$A$とは対称行列です。ありがとう。$B$

はい、鉛筆が明確である場合、つまりとがエルミートで、が正定である場合。次に、のシグネチャは、固有値問題、場合と同じ解釈になります。この種のより一般的な結果は、明確な非線形固有値問題当てはまり。私の本のセクション5.3を参照B B A - σ B （A - λ B ）X = 0 B = I A （λ ）のx = $A$$B$$B$$A-\sigma B$$(A-\lambda B)x=0$$B=I$$A(\lambda)x=0$

アーノルドノイマイヤー、数値解析入門、ケンブリッジ大学 プレス、ケンブリッジ2001。

、私の主張の証拠があることを指摘すると、ジャックPoulsonによって与えられた引数から推論することができるおよびと同じ慣性を持っているため、一致しています。C - σ I A - σ $(A-\lambda B)x=0$$C-\sigma I$$A-\sigma B$

特に、慣性を直接計算でき、を形成するためにコレスキー分解を必要としません。実際、が悪条件である場合、の数値形成は慣性テストの品質を低下させます。B C B $A-\sigma B$$B$$C$$B$$C$

場合エルミート正定値、のコレスキー分解である、言う、与えること$B$$B$$B = L L^H$

この方程式を操作して、

ここで、はの対称性を維持し、鉛筆と同じスペクトルを持つことは明らかです。したがって、を形成した後、コレスキー分解とそれに続く両側三角ソルブを使用すると、シルベスターの慣性則をに直接適用して、鉛筆固有値に関する情報を収集できます。$C \equiv L^{-1} A L^{-H}$$A$$(A,B)$$C$$C$$(A,B)$

シルベスターの慣性の法則は合同変換、たとえばに関して不変なので、行列は変換を通じて合同であることに注意してください、したがってはと同じ慣性を持っています。ただし、慣性が必要な場合、一部の非ゼロシフト場合、単純に考慮ことはできません。 C A L $S \cdot S^H$$C$$A$ CAC-σIσ$L^{-1} \cdot L^{-H}$$C$$A$$C-\sigma I$$\sigma$$A$