なぜHouseholder反射は行列を対角化できないのですか？

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実際にQR分解を計算するときは、Householder反射を使用して、マトリックスの下部をゼロにします。対称行列の固有値を計算するために、Householder反射でできる最善の方法は、三重対角形にすることです。この方法で完全に対角化できない理由を確認する明白な方法はありますか？私はこれを簡単に説明しようとしていますが、明確なプレゼンテーションを思い付くことができません。

linear-algebra  matrix 
— ビクター・リュー
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回答:

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対称行列の固有値を計算するとM∈Rn×nあなたは、ハウスホルダ反射鏡でできる最善は車でM三重対角の形に。Mは対称であるため、前の回答で述べたように、対角行列、つまり直交相似変換がありますD=STMS。反射器のシーケンスを計算し、左からMおよびHにH Tを適用することにより、Householder反射器を厳密に使用して未知の直交行列動作を見つけることができれば便利ですSHTMH右から。ただし、Householderリフレクターは列をゼロにするように設計されているため、これは不可能です。我々は、すべての外にゼロにハウスホルダーリフレクターを計算するために、以下の番号であればM 11我々は見つける Mを= （MM11 しかし、現在、エントリ M 12 - M 1 nは、左側に適用されたリフレクタ H T 1によって変更されています。したがって、 H 1を右側に適用すると、Mの最初の行がゼロでなくなり、 M 11のみが残ります。代わりに、 H T 1 M=（

M=(∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗)→H1TM=(∗∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′)。
M12−M1nH1TH1MM11 行をゼロにしないだけでなく、リフレクタ H T 1で導入したばかりのゼロ構造を破壊する可能性があります。
H1TM=(∗∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′)→H1TMH1=(∗∗″∗″∗″∗″∗′∗″∗″∗″∗″∗′∗″∗″∗″∗″∗′∗″∗″∗″∗″∗′∗″∗″∗″∗″).
H1T

ただし、を三重対角構造に駆動することを選択した場合、最初の行はH T 1のアクションによって影響を受けないため、 M = （MH1T したがって、右から同じリフレクターを適用すると、 H T 1 M=（

M=(∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗)→H1TM=(∗∗∗∗∗∗′∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′).
H1TM=(∗∗∗∗∗∗′∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′0∗′∗′∗′∗′)→H1TMH1=(∗∗′000∗′∗″∗″∗″∗″0∗″∗″∗″∗″0∗″∗″∗″∗″0∗″∗″∗″∗″).

MTMSTS

— アンドリュー・ウィンタース
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他の回答へのコメントが明らかにするように、ここでの実際の問題は、Householderマトリックスの欠点ではなく、（直交）を介して（実際の）対称マトリックスを対角化するために直接（「閉形式」）メソッドではなく反復法が使用される理由に関する質問です類似性）。

実際、直交行列はHouseholder行列の積として表現できるため、対称行列（その固有値）の対角形を知っていれば、正規正規化固有ベクトルの完全なセットを解くことができ、対応する基底行列の変化を多項式時間でのハウスホルダー変換の積。

ビクターのカッコ内の「アベルの定理以外」のコメントを見てみましょう。なぜなら、反復法を使用する理由が直接法ではなく多項式の根を見つけるために効果的に求められているからです。もちろん、実対称行列の固有値はその特性多項式の根であり、他の方向に進むこともできます。実数の根のみをもつ実多項式が与えられた場合、多項式のSturmシーケンスから三重対角対称コンパニオン行列を構築することが可能です。このセットのポスター、デニス・セールのエクササイズ92も参照してください。。これは、Householder行列の直接適用が実際の対称行列を三重対角化することを見たので（@AndrewWinters）、これらの問題の等価性を示すのにかなり良いです。

O(nlog3⁡n)O(n2)

アベル-ガロアルフィニ定理度4以上の多項式の根のための一般式ラジカル（および通常の算術）の観点で与えられることができないと言います。しかし、よりエキゾチックな操作に関して根のための閉じた形式があります。原則として、そのようなアプローチに固有値/対角化法を基づかせるかもしれませんが、いくつかの実際的な困難に直面します：

  1. t5+t−a=0t(a)

  2. これは次数6以上の多項式で分類されますが、たった2つの変数の関数を使用してそれらを解くさまざまな方法が見つかります。 ヒルベルトの13番目の問題は、一般的な7次多項式は最大2つの変数の関数だけでは解けないという推測でしたが、1957年にVIアーノルドが解けることを示しました。任意次数の多項式の解を得るために使用できる多変数関数ファミリには、メリン積分、超幾何、シーゲルシータ関数があります。

  3. nCf:Y2=f(x)f(x)O(n3)

したがって、実際の根（対称行列の固有値）を分離するための間接的/反復的方法は、これらの問題に対する既知の直接的/正確な方法よりも高い精度で現在実用的な利点があります。

— ハードマス
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いくつかのメモ：1. Sturmシーケンスから三重対角のコンパニオンマトリックスを構築する実用的な方法は、FiedlerとSchmeisserの論文で概説されていました。私が与えたMathematicaの実装をここでは、より伝統的な言語で実装することも難しくはありません。
— JM
2.多項式根の「シータ関数」アプローチ（実際の使用には少々扱いにくい）に関して、梅村はリーマンシータ関数を使用したアプローチの概要を説明します。
— JM
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どのような理由でこれが不可能だと思いますか？

SS=GDGtGD

サイズn×nの直交行列は、最大n個のそのような反射の積として構築できます。ウィキペディア。したがって、この分解があります。

私は最後の声明について確信がありません、私はそれを引用するだけです（そしてそれは正しいと思います）。あなたの質問を理解する限り、それは、直交行列をハウスホルダー変換のシーケンスに分解できるかどうかに要約されます。

— シュハロ
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もっと具体的にすべきだった。対称行列を対角化する最初のステップは、三重対角になるまでHouseholderを適用することです。次に、QR反復が実行されます。このプロセスは、閉じた形式のHouseholder変換のみでは完了できません。どうして？（アベルの定理以外）
— ビクター
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ヤコビ回転でそれを行うことができます。ゴラブとヴァン・ローンは、ヤコビはギブンズと同じだと書いています。Householderは、Givensを実行する別の方法です。実際には、QRの方が速い場合は、「正しい」方法がQRにあります。
— パワー
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（通常のアプローチに基づいた予備計算から）固有値が既にわかっている場合、次の積で非対称行列を三角化する（または対称行列を対角化する）ことができます。 n−1世帯主の反射。の中にk番目のステップ k列は三角形になります。（これは、Schur分解の存在の単純な帰納的証拠も提供します。）

実際に、数値的に安定した因数分解された形式の直交行列を繰り返し必要とする方法に役立ちます。

— アーノルド・ノイマイアー
ソース
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