行列の対角化-小さな行列要素の省略

対角化の前に行列から小さな行列要素を省略することによって導入されるエラーに上限を設定できる定理があるかどうか疑問に思っていました。

我々はその行列の要素から及ぶ大行列、持っていると仮定しましょう$1$に$10^{-15}$。行列を対角化する前に、より小さいすべての行列要素$10^{-10}$を$0$に設定すると、固有値と固有ベクトルの誤差はどのくらいになりますか？

この実装は依存していますか？

$$AX = X\Lambda.$$

元の行列の固有値がすべて異なる状況では、次のドキュメントに非常に明確な導出と結果があります。

マイク・ジャイルズ。「順方向および逆方向モードのアルゴリズム微分のための行列微分結果の拡張コレクション」。https://people.maths.ox.ac.uk/gilesm/files/NA-08-01.pdf

固有値が異なる場合は、さらに注意が必要です。次のプレゼンテーションと論文を参照してください。

$A=U \Lambda U^T$$A \rightarrow A + dA$

$$d\Lambda = \text{diag} (U^T dA U),$$ $$dU = UC(dA),$$ $C$として定義されます $$C = \begin{cases} \frac{u_i^T dA u_j}{\lambda_j - \lambda_i}, & i=j \\ 0, &i=j \end{cases}$$

OvertonとWomersleyによる次の論文は、2次導関数を含め、対称ケースの優れた感度分析を示しています。

Overton、Michael L.、およびRobert S. Womersley。「対称行列の固有値を最適化するための2次導関数。」SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 16.3（1995）：697-718。http://ftp.cs.nyu.edu/cs/faculty/overton/papers/pdffiles/eighess.pdf

これは、マトリックスで実行される数学的演算であるという意味で、実装に依存しません。ただし、これは非常に行列に依存します。

$A=XDX^{-1}$$E$$X$

$$X^{-1}(A+E)X = D + X^{-1}EX.$$ $D$ $$\|E\| \kappa(X),$$ $\|E\|$$\kappa(X)$ 固有ベクトルの行列の条件数です。

行列が 通常の場合（つまり、 ）、はユニタリでなので、これで問題ありません。$A$$AA^t=A^tA$$X$$\kappa(X)=1$

行列が正常でない場合は、セットとして定義されている、スペクトルの概念が必要です。 計算が簡単な同等の定義は、 TrefethenによるPseudospectra of Matricesには、疑似 スペクトルとその特性に関する優れた調査があります （疑似スペクトルがスペクトルよりもはるかに大きいマトリックスのギャラリーが含まれています。疑似スペクトルは小さなコレクションであると考えるかもしれません）

$$\Lambda_\epsilon(A) = \{z \mid z \text{ is an eigenvalue of $A+E$ with $\|E\| \leq \epsilon$} \}.$$ $$\Lambda_\epsilon(A) = \{z \mid \|(zI-A)^{-1}\|\geq \epsilon^{-1} \}.$$ $\epsilon$固有値の周りのサイズのディスクですが、それは実際にはまったく正しくありません）。一般に、疑似スペクトルが適切に動作し、摂動が無視できると仮定することはできません。ただし、を計算して、結果のエラーを推定することはできます。疑似スペクトルを直接計算することもできます。$\kappa(X)$

ある意味では、小さなマトリックス要素を削除しても問題ありません。それらが重要ではなく、新しい結果が元の結果と同じくらい正確であるか、または重要であり、元の結果が新しい結果と同じくらい不正確です。