与えられたベクトルの固有ベクトル成分を計算する

エルミートスパース演算子Mの固有空間に分解できるベクトル$V$あります。$M$

$V = \sum_i v_i \hat{m}_i$

最大の（大きさ）に対応する（固有ベクトル自体）を見つける方法はありますか？$\hat{m}_i$$v_i$

基本的に、事前にわからないの固有ベクトルを含む、合計の最大の数項が必要です。$M$

具体的には、最大の対応するの固有ベクトルを同時に見つけたい 、最大のを見つける。最初にスペクトル全体を見つけることはできません。$M$$|v_i|$$v_i$$M$

私が考えていたいくつかの可能性：

「Wieldant's Deflation」の反対を使用して、マトリックスを「膨張」させることができます。

$M_1 = M + \sigma \left[ \Sigma_i v_i \hat{m}_i \right] V^H = M + \sigma V V^H$

異なるの固有値は、シフトされます。固有ベクトルは変化しないため、と抽出できると思います。問題は、外積が密であることです。$\hat{m}_i$$\lambda_i + \sigma |v_i|^2$$\sigma$$v_i$$V$

別の可能性：

べき乗法（収束までにベクトル掛け続ける）は、最大の固有値を持つの成分を見つけます。この方法の欠点は、の大きさを制御できないため、すべてのコンポーネントを見つけ、最大のものを見つけることです。$M$$V$$V$$v_i$

最大のコンポーネントのみに収束するようにこれを制御する方法はありますか？

行列はエルミート行列であるため、これをハミルトニアンとして使用して、想像上の時間で伝播させることができます。つまり、次の微分方程式系を解きます。

これに対する一般的な解決策は次のとおりです。

次に、をフーリエ変換します。ピークの高さと配置により、さまざまな固有ベクトルに沿った成分とそれに関連する固有値がわかります。これは、超高速原子物理学では「スペクトル法」と呼ばれることもあります。$\vec{V(t)} \cdot \vec{V(0)}$

固有値を取得したら、任意の固有固有値ソルバーを使用して固有ベクトルを見つけます。

承知しました。ましょう、各列はエルミート演算子の別個の固有ベクトルであるような行列である。の隠蔽性から、は可逆であることがわかります。を取得するには、線形システム解きます。次に、ようなインデックス選択します; の番目の列は、最大のに対応する固有ベクトルになります。$\hat{M}$$M$$M$$\hat{M}$$v_{i}$$\hat{M}v = V$$i$$\max_{j}|v_{j}| = |v_{i}|$$i$$\hat{M}$$v_{i}$