Galerkinメソッドの背後にある動機

ガラーキン法について質問があります。ガラーキン法が形状関数によって残差に重みを付け、それをゼロに設定する理由がわかりません。その理由を知りたい。重み残差関数をゼロに設定する必要があるのはなぜですか？

大学院で有限要素法を勉強したとき、この重み関数を掛けるという考え方も、私には非常に異質でした。結局、私はそれを理解するのに役立つ素晴らしい（厳密ではないが）アナロジーを見つけました。この類推は、3Dベクトルジオメトリと、投影および内積の理解に基づいています。

3Dジオメトリ

3Dユークリッド空間のどこかにある2D平面を想像してください。この平面は、2つのベクトルとスパンとことができます。したがって、平面内の任意のベクトルは、これらのベクトルの線形結合として記述できます。つまり、v 2 w w = c 1 v 1 + c 2 v $v_1$$v_2$$w$$w=c_1v_1+c_2v_2$

平面上にない3D空間の点を想像してください。あるポイント、平面上の全ての点：質問を考えて、最も近いの？点を通り、平面に垂直な線上にあるのは、1つの点（上の画像には表示されていません）です。点は、平面へのの正射影としても知られています。この点座標はわかりませんが、と間のベクトルは、平面を定義するすべてのベクトル、つまりとに垂直であることがわかります。Q w Q w Q w Q w v 1 v 2 Q w → Q − → w → Q − → $Q$$Q$$w$$Q$$w$$Q$$w$$Q$$w$$v_1$$v_2$。垂直とは、内積がゼロであることも意味します。と間のベクトルを場合、を平面に垂直に強制すると、$Q$$w$$\vec{Q}-\vec{w}$$\vec{Q}-\vec{w}$

$$(\vec{Q}-\vec{w})\cdot v_1=0$$

そして

$$(\vec{Q}-\vec{w})\cdot v_2=0$$

これにより、方程式を解くことができます。また、を構築するには、の座標を知っている必要があります。$\vec{Q}-\vec{w}$$Q$

ガラーキン法の類推

のは、ソリューションと仮定しよう機能の有限線形結合である、...、。したがって、です。この線形結合は、上記の説明の平面のように機能します。 N 1 N k u h = C 1 N 1 + 。。。+ C k N $u_h$$N_1$$N_k$$u_h=C_1N_1+...+C_kN_k$

今、私たちが知らない正確な解 が存在すると仮定しましょう。この解は、平面上にない3D空間の点に似ています。$u$$u$

ガレルキン法では、真の解（平面ではなく点）に最も近い空間（平面）の解を探します。この意味で、「最善の解決策は、」の選択である違いという宇宙に垂直である。関数空間の場合、「ドット積」はそれらの積の積分、つまりによって定義されることに注意してください。だから、perpedicularは間の内積ことを意味しおよびすべてのそれらの基底関数、...、、すなわちゼロでなければなりません U - U H U H < U 、V > = ∫ Ω U 、V U - U H N 1 N $u_h$$u-u_h$$u_h$$<u,v>=\int_\Omega u v$$u-u_h$$N_1$$N_k$

。。。∫ Ω（U- U H） NのK =

$$\int_\Omega (u-u_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (u-u_h)N_k = 0$$

さて、あなたは、自分自身に言っても、我々は厳密解を知っていることを前提に批判的に「この全体のセットアップ休符を前もって。しかし、真実は、私たちが一般的に知らないということである先験的。で、その場合、どのようにすることができますこれらのすべての方程式でを計算する可能性はありますか？u u − u $u$$u$$u-u_h$ "あなたが尋ねて本当に嬉しいです！

真実は、直接評価することはできず、評価もできないということです。しかし、とが何を満たすべきかはわかっています。すなわち、PDE。 u u $u-u_h$$u$$u_h$

元のPDEの問題が

$$-\nabla\cdot\left(k(x)\nabla u\right)=f$$

これを次のように書き換えることもできます

A A U = - ∇ ⋅ （K （X ）∇ U

$$Au=f$$ 演算子は式によって定義されます$A$$Au=-\nabla\cdot\left(k(x) \nabla u \right)$

したがって、解間の絶対差を考慮する代わりに、すべての（垂直）方程式の残差します。つまり、とが何であるかではなく、と満たすものを。上記の（垂直）方程式の絶対差を残差で置き換えると、次のようになります。 A u − A u h u u h u u $u-u_h$ $Au - Au_h$$u$$u_h$$u$$u_h$

。。。∫ Ω（AU-A U H） NのK =

$$\int_\Omega (Au-Au_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (Au-Au_h)N_k = 0$$

繰り返しますが、私たちはまだが何であるかわからないので、これはあまり役に立ちません。しかし、実際には、を既知のソース項置き換えることができます（）。したがって、次の方程式が得られます。A u f A u = $u$$Au$$f$$Au=f$

。。。∫ Ω（F-A U H） NのK =

$$\int_\Omega (f-Au_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (f-Au_h)N_k = 0$$

したがって、残差を特定の空間に直交するように強制すると、係数について解くことができる方程式系が得られます。 $C_1,...,C_k$

概要

上記の説明は大まかな「アナロジー」です。私は実際には何も導き出していないか、を置き換えることができるという妥当な証拠を与えていなくても、近似を生成できます。また、PDEの弱い形式を取得する方法や、存在するスペースを選択する方法については何も説明していません。 A u − A u h N 1。。。N $u-u_h$$Au-Au_h$$N_1...N_k$

しかし、投影としてのガラーキン法の背後にある全体的な考えは、与えられた（有限次元）空間（、...、スパン）における関数のすべての可能な線形結合について、aに最も近いものを探しているということです。与えられた空間の外にある解（点）。最も近いとは、真の解から与えられた空間への正射影を探しているということです。正確な解がわからない場合、絶対差を投影のメトリックとして使用できません。したがって、予測のメトリックとして残差を使用する必要があります。言い換えると：N k$N_1$$N_k$$u$

ガラーキン投影は、どのような話ではありませんある ...それは何のことだ満たします。$u$ $u$

ラプラス方程式を解こうとしているとしましょう。もちろん、理想的には、残差がゼロになるように関数を見つける必要があります：。しかし、は無限次元のオブジェクトであり、一般にコンピューターでは表現できないため、有限次元の近似を見つける必要があります。以来正確な解ではない、我々は期待できない。問題は、代わりに方程式のセットを満足させるかです。$-\Delta u = f$$u$$r(u) = -\Delta u - f = 0$$u$$u_h$$u_h$$r(u_h)=0$$u_h$

ガラーキン法は、を形状関数線形結合として選択し、残差が方程式のセットを満たすように係数決定します。$u_h=\sum_i U_i \varphi_i$$N$$\varphi_i$$U_i$$N$$\left<\varphi_i,r(u_h)\right>=0$

しかし、可能な他の選択肢があります。たとえば、Petrov-Galerkinメソッドでは、が必要ですここで、テスト関数は、試行関数は別の重み付け関数のセットです。$\left<\psi_i,r(u_h)\right>=0$$\psi_i$$N$$\varphi_i$

この問題については、http：//www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.htmlの講義4でもう少し資料があります。

Boris Grigoryevichは、ソリューションの作成に使用したのと同じ関数で残差を作成できないようにしたいと考えています。

この質問は古く、多くの賢い人々によって答えられてきましたが、私はガラーキンの方法を人々に説明するために使用する直感を書き留めておきたいと思います。

私たちの状況の目標は、いくつかの連続残差方程式にできる限り近い解を見つけることです。

$$r(u) = 0$$

$i^{th}$$\phi_{i}(x)$$u_{h} = \sum_{i}^{n} a_{i} \phi_{i}(x)$$r(u_{h}(x))$

$$\int_{\Omega} r(u_{h}(x)) \phi_i(x) dx = 0 \;\;\; \forall i$$

この積分式は、次のように書かれた内積と見なすことができます。

$$\left< r(u_{h}), \phi_i\right> = 0 \;\;\; \forall i$$

この内積の観点から見ると、ガラーキン射影は、残差誤差を基底関数の選択と直交するように強制します。したがって、解の低次元表現の使用に関連する真のエラーが存在する可能性がありますが、ガラーキン投影は、選択された基底に関連するエラーコンポーネントを最小限に抑えることを目的としています。

強い形式の方程式に形状関数を掛けると、形状関数は任意になります。したがって、残差がこのような形状関数に直交することを要求することにより、このような残差は実際には非常にゼロに近くなります。

これは、残差が正確にゼロであることを要求することと同じではなく、離散解が満たすことができる多少弱められた要件です。