最近のSIAMニュースの記事には、有限要素の体系的な組織を説明する長い記事があり、有限要素の周期表と呼ばれています。有限要素外部計算を介して分類を実行する方法を確認することは、非常に魅力的です。著者が示すように：
周期表での化学元素の配置が新しい元素の発見につながったように、有限要素の周期表は既存の元素を明らかにしただけでなく、私たちの知識の穴も強調し、特定の要素に適した新しい有限要素のファミリーを導きました目的。
この類推は私を魅了し、欠けている材料要素が発見されたのと同じ方法ですべての可能な「穴」を埋めることが可能かどうか疑問に思います。おそらくこれは類推を広げすぎているかもしれませんが、有限要素のすべての可能な「ギャップ」がこの有限要素の外部計算分類アプローチに従って完全に探索および開発されているかどうか、私は興味があります。そうでない場合、研究が現在開発に焦点を当てているより重要な「行方不明の方法」は何ですか、そしてなぜですか？さらに、このアプローチでは分類できない有限要素法はありますか（任意の形状の単純要素の明らかな省略は別として...）？
回答:
免責事項：私は実際にはこの分野で働いていません（ただ面白いと思うだけです）ので、いくつかの考えを誤解している可能性があります。これが発生した場合は謝罪し、間違いを見つけた場合は修正してください。
一つの注意点-有限要素は有限要素法と全く同じではありません。これらはCiarletによって定義された要素です-空間の線形汎関数として定義された自由度を持つ有限次元近似空間。有限要素法は、はるかに広い範囲の離散化（たとえば、弱い形式の安定化、離散トリックなど）にすることができます。
Doug Arnoldは、SIAMテーブルの脈絡で、現在の作業を適切にサンプリングしています。端正なのは、このアイデアを有限要素のセレンディピティグループに拡張したことです。これにより、彼は3Dセレンディピティ有限要素の新しいファミリを生成できました。Annalisa Buffaは、Bスプラインの離散化をこの微分形式のフレームワークに適合させました。
上記のアイデアの多くは、「互換性のある離散化」を形成するためのDe Rham複合体の有限次元の再現を含みます（混合有限要素の安定性は、離散化における互換性の一般的なアイデアに結び付けられています）。Maxwellsとカールカールの問題にも互換性があり、メソッドの安定性とオペレータースペクトルの正確な再現が得られます。FEM以外では、模倣有限差分法もこれらの概念に関連しているように見えます（ただし、それらは混合FEM法に密接に関連しているため、これがどれほど特別であるかはわかりません）。
最近では、アーノルドは別の「弾性」複合体に基づいて弾性の有限要素を考案し、ジョン・エバンスはストークスについてこのアイデアを再現し、「ストークス複合体」に基づく非圧縮性流れ問題の基礎を定義しました。発散のない状態を含む完全な問題が離散化されている場合、結果の離散化は、ポイントごとの（弱くない）発散がないことを示すことができます。GerritsmaとHiemstraは、同じ幾何学的アイデアを使用して、さまざまな保存則の正確な保存特性を満たす高次の離散化を構築できると主張しています。
TL; DR-FEMの周期表：エキゾチックで非伝統的な要素？FEMをファミリーにグループ化するアイデア：物理の互換性のある離散化と幾何モデリング？