多くの独立した周期を持ち、閉じた形を持たない振動積分の評価

フォームの積分との契約について私が知っている振動積分のためのほとんどの方法ここで大きいです。

\int f (x) e^{i ω x} d x

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$

ω

$\omega$

Iは、フォームの積分を使用している場合ここで、振動その根のみ約知られている機能が、漸近形のいくつかの種類である周波数で、知られている（とすべての異なる -linearly独立）では、どうすればこの積分を評価できますか？

\int f (x) g_{1} (x) \dots g_{n} (x) d x,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$

g_{k}

$g_k$

g_{k} (x) \sim e^{i ω_{k} x}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$

ω_{k}

$\omega_k$

Q

$\mathbb{Q}$

以下の場合と異なり、多項式積分 Iは、多項式補間値のセット構築することができないので、知られていないと正確に補間値を統合します。 $e^{i\omega x}$ $\int x^a \prod g_k(x)$ $f(x)$

$g_k$ $J_0(\omega_k x)$ $f(x)=x^\alpha$ $[0,\infty)$ $[x_{k-1},x_k]$ $M$ $g_k(x)$ $x$ $n$ $g_1\ldots g_n$ $r$ $r^n$ $n$

ヒューリスティックな厳密でない答え、提案、参照はすべて歓迎されます。

quadrature

— キリル
ソース

回答:

私は、固定相の点があるより単純な積分に取り組んできました。非常にうまく機能する2つの方法を見つけました。

1つは、位相関数に依存する指数減衰係数、つまり、必要に応じて一種の人工粘性を導入することです。

別の手法（統計フェーズに複数のポイントがある場合）については、以下で説明されています。

タック、EO、コリンズ、JLおよびウェルズ、WH、「船の波とそのスペクトルについて」、Journal of Ship Research、pp。11–21、1971。

その方法は、指数減衰係数を被積分関数に適用し、被積分関数が統計から離れて急速に振動するようになります。位相はポイントしますが、被積分関数をそのままにしておきます。

それは私からのアイデアです！

— Lysistrata
ソース

ありがとうございます。この場合、これがどのように機能するかはよくわかりません。1つには、実線上に静止位相のポイントがなく、振動からの寄与が最終値にとって重要であるため、減衰させてはなりません。

— キリル

被積分関数の振動部分の根（または極値）の正確な値がある限り、ロングマンの方法（この回答で説明したとおり）は引き続き適用できます。あなたがしなければならないのは、あなたの好きな求積法を使って根の間の間隔で積分の束を評価し、これらの積分をいくつかの交互級数の項として扱うことです。その後、任意の数の収束加速メソッド（オイラー、レビン、ウェニガーなど）を使用して、この交互系列を「合計」できます。

例として、このmath.SEの回答では、振動部分が2つのベッセル関数の積である無限積分を評価しました。

— JM
ソース

根の間隔が不規則であることは重要ではないでしょうか（すべての期間が無理で独立しています）。このような不規則なシーケンスの収束加速を信頼する理由は何ですか？

— キリル

これは少し前のことですが、積分を1000桁に評価したかったのですが、覚えているとすれば、直角位相が実際に最初に試したことです。結果は覚えていませんが、現時点ではうまく機能していないと思います。

— キリル

「なぜこのような不規則なシーケンスの収束加速を信頼するのですか？」-私は1つのアクセラレータだけを信頼するつもりはありません。しかし、少なくとも3つの異なるアクセラレータで一貫した結果が得られている場合、得られた数字は少なくとももっともらしいと思います。FWIW、私はベッセル関数の積の無限積分にLongmanを使用してきました。特に、アクセラレータとしてWenigerの変換を使用するときは、決してがっかりすることはありません。

— JM

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$

（一般化された）フーリエ展開を実行できる場合は、確認してください。

— JM