実スパース行列の特性多項式の計算

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一般的なスパース行列所与と~~M << N~~（訂正：）非ゼロ要素（典型的には、）。は特定のプロパティ（例：正定性）を持たず、構造（例：縞模様）がないと見なされるという意味で一般的です。 $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ $m \ll n^2$ $m \in {\cal O}(n)$ $A$

特性多項式または最小多項式のいずれかを計算するための優れた数値手法のいくつかは何ですか？ $A$

linear-algebra algorithms sparse-matrix

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すべての固有値を計算したいようです。なぜ多項式が必要なのですか、それをどのように表現したいのですか？単項式の基底は非常に悪条件であるため、係数は有限精度演算で安定して計算できない可能性があります。

— Jed Brown

@JedBrown熟考の詳細。でこの質問に対する私の答え私が与えた代数（可換環とフィールドの上に例えば行列）コンピュータ代数でよく知られているマトリックスを、反転する方法を。数値行列に使用できるかどうか知りたい。この質問のために、逆ではなく特性/最小多項式を見つけるための数値手法に興味があることに注意してください。

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$O(n^3)$

考え方はかなり単純です。「ガウスの消去法に似た」相似変換により、マトリックスは徐々にフロベニウスの正規形に縮小されます。情報が見つからない場合は、アルゴリズムをさらに複雑にすることができます。

— ファレイチク
ソース

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QR因数分解やべき乗法などの数値法とその実数（逆べき乗など）を使用して、一般的な行列の固有値を計算できます。その後、次のように因数分解して特性多項式を計算できます。（λ-λ1）（λ-λ2）...（λ-λn）= 0ここで、λiは計算された固有値です。パワーとQRメソッドに関する短いプレゼンテーションを以下に示します。

QR-Power

— Chemeng
ソース

0

$m \ll O(n^2)$ $m \ll O(n)$ $n$ $O(m)$

— ヴォルフガングバンガース
ソース

m ≪ n^{2},

$m \ll n^2,$

m \in O (n)

$m \in {\cal O}(n)$