六面体セルの非構造化メッシュに関して点の雲を並べ替えます

質問

六面体セルの非構造化メッシュに関して、ポイントのクラウドをどのようにソートしますか？

各セルには、中心とそれを表す一意のラベルがあります。基本的に2つのクラウドポイント（元のポイントクラウド、およびセル中心のポイントクラウド）がありますが、セルジオメトリ情報（境界ボックス）が役に立つかもしれません。

結果

私はいくつかの質問をし、文献を検索しました：

メッシュが六面体で構造化されていない場合、問題は直交範囲検索に限定されます。この目的のために、kdツリーが最もよく使用されます。メッシュが八分木データ構造に基づいて洗練されている場合、範囲検索アルゴリズムを構築できます。目標は、直接的なメッシュジオメトリの処理を避け、点群A-点群の関係Bに集中することです。点群A：クエリポイント、点群B：メッシュセル中心。

重要な注意：この回答は実際の質問には答えませんが、リクエストごとに削除されずに残されました。恥ずかしいことに、六面体と六角形を混同しました。問題は、ポイントを3Dの任意の六面体セルにソートすることですが、このソリューションは、ポイントを2Dの正六角形セル、または任意の次元のボロノイテッセレーションに対応する不規則な六角形セルにソートします。この方法は、そもそもメッシュがボロノイテッセレーションとして生成された場合にのみ適用されます（これは時折使用されるアプローチのようです）。

ここで並べ替えの意味がわかりませんが、ポイントを平面上の六角形のビンに並べ替えたいと思います。

Mathematicaは私が知っていることなので、Mathematicaでそれを行う方法を示しますが、このメソッドは他のシステムに移植できます。六角形の格子は三角形の格子の双対であるという考えです。三角形の配置の点のボロノイ図として生成できます。クラウドのポイントは、他の六角形の中心よりもその六角形の中心に近い場合、その六角形に属します。

この方法は、ポイント配置のボロノイ図として生成できる限り、さまざまな形状のメッシュでも機能します。（たとえば、六角形は規則的である必要はありません。）

メッシュを生成しましょう。これは三角格子です。

pts = Join @@ Table[{x, Sqrt[3] y}, {x, 0, 4}, {y, 0, 2}];

points = Join[pts, TranslationTransform[{1/2, Sqrt[3]/2}] /@ pts];

Needs["ComputationalGeometry`"]
PlanarGraphPlot[points, LabelPoints -> False]

その双対は、私たちが興味を持っている六角形です。

DiagramPlot[points, LabelPoints -> False]

これnfにより、いくつかのクラウドポイントが最も近い六角形の中心のインデックスを見つける関数が構築されます。メソッドの鍵です：

nf = Nearest[N[points] -> Range@Length[points]];

それでは、1000個のランダムなポイントのクラウドを生成して、それらをソートしてみましょうnf：

cloud = RandomReal[{-1/2, 5}, {1000, 2}];

indices = First /@ nf /@ cloud;

indices各クラウドポイントに最も近い中心のインデックスが含まれます。これが必要な情報です。これでヒストグラムを作成できます...

Histogram[indices]

...またはそれらの各色...

Show[
 DiagramPlot[points, LabelPoints -> False],
 Graphics@MapThread[{ColorData[3][#1], Point[#2]} &, {indices, cloud}],
 PlotRange -> All, AspectRatio -> Automatic
 ]

...または、私たちが望むあらゆる種類の派手な視覚化を行います。

tally = Tally[indices];

ListDensityPlot[Join[points, List /@ Sort[tally][[All, 2]], 2], 
 InterpolationOrder -> 0, 
 Epilog -> (Text[#2, points[[#1]]] & @@@ tally), 
 PlotRange -> {{-.5, 5}, {-.5, 5}}, Mesh -> All, 
 ColorFunction -> (ColorData["BeachColors"][1 - #] &)]

ここで重要なのは、何かに最も近い点を見つける関数です（Nearest）。Mathematicaにはこれが組み込まれていますが、システムに組み込まれていない可能性があります。この場合、このような関数を効率的に実装する方法に関するこの質問を参照してください（または、処理するポイントが大量にない場合は、単純な線形時間実装を使用してください）。