ジオメトリックプログラミングとコンベックスプログラミングの違いは何ですか？

（一般化された）幾何学的プログラミングは一般的な凸型プログラミングとどう違うのですか？

幾何学的プログラムは凸型プログラムに変換でき、通常は内点法によって解かれます。しかし、問題を凸型プログラムとして直接定式化し、内点法で解決することの利点は何ですか？

幾何学プログラムのクラスは、内点法によって特に効率的に解くことができる凸プログラムのクラスのサブセットを構成するだけですか？または、一般的な幾何学プログラムをコンピューターで読み取り可能な形式で簡単に指定できるという利点もあります。

一方、幾何学プログラムでは適度に近似できない凸型プログラムはありますか？

この質問までは、幾何学的プログラミングについて実際に聞いたことがありません。ここでスティーヴン・ボイドによるレビュー論文であるら、幾何学的なプログラミングのチュートリアルです（Vandenbergheがあまりにも共著者であるが）。

元々表現されていた幾何学的プログラムは凸状ではありません。例えば、ポジノミアルであり、それが凸ではないので、幾何学的なプログラムは、凸プログラミングの厳密なサブセットではありません。$x^{1/2}$

幾何学プログラムを凸型プログラムに変換する利点は、元の幾何学プログラムが必ずしも凸型ではないことです。幾何プログラムを非線形プログラム（NLP）として解いた場合、グローバル最適解を保証するために、非凸最適化の方法を使用する必要があります。これらの方法は、凸最適化方法よりも費用がかかり、よりアルゴリズム的な調整が必要で、初期推測が必要です。

さらに、非凸NLPのアルゴリズムを使用する場合は、実行可能なセットをコンパクトセットとして指定する必要があります。幾何学プログラムでは、x > 0は有効な制約です。$\mathbb{R}^{n}$$x > 0$

幾何学的プログラムのセットが（対数指数変換を介して）特に効率的に解く凸状プログラムのセットにマップされるかどうかは明確ではありません。凸型プログラムへの変換以外の幾何学的プログラミングの利点は何もありません。

あなたの最後の質問については、幾何プログラムのセットは凸プログラムのセットに同型であるとは思わないので、幾何プログラムとして表現できない凸プログラムがあるのではないかと思います。幾何学プログラムではそれほどうまく近似できないものもあります。ただし、証明や反例はありません。

$f(x) \leq 1$$f(x)$$-x-y \leq 1$$-x-y$$-x^2-y^2\leq 1$