小さな行列式は、行列の悪条件を意味しますか？

正方の可逆行列があり、その行列式を取得し、そのを見つけた場合、 $\det(A) \approx 0$ これは行列の条件が悪いことを意味しますか？

その逆も本当ですか？悪条件の行列の行列式はほぼゼロですか？

Octaveで試したものを次に示します。

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— 審問
ソース

行列式は、行列が正則か特異かを示します。条件が良いか悪いかは表示されません。

— アランP. Engsig-Karup

行列式の大きさは、悪条件を反映することはできません：

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$ が、

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$ 。

— -faleichik

どこかに

\approx

$\approx$ または

が必要

\neq

$\ne$ ですか？

— 調査

マトリックススペクトルに対する浮動小数点演算の影響について詳しく知りたい場合は、ニックトレフェテンの著書：Spectra and Pseudospectra：The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators and the Pseudospectra Gatewayを参照してください。

— アロンアーマディア

回答:

行列式の小ささではなく、特異点への近さを測定するのは条件数の大きさです $\kappa(\mathbf A)$ 。

たとえば、対角行列 $10^{-50} \mathbf I$ は小さな行列式がありますが、条件が整っています。

反対に、Alexander Ostrowski（およびJim Wilkinsonによる研究）により、次の正方形の上三角行列のファミリーを検討します。

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

行列式行列常にが、最小特異値に対する最大の比（すなわち、2ノルムの条件数）に等しくなるようにOstrowskiによって示された増大させるために増加することがわかる、。 $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
ソース

@Nunoxic：確かにそうではありません。詳細を説明する前に、特異値分解にすでに精通していますか？

— JM

とても良い。あなたが知る必要があるのはそれだけです。考え方は、コンディショニングに関する非常に重要な情報が集中しているということです。特に、その行列の対角線で最大値と最小値（対角要素が非負になるように分解が定義されていることを思い出してください）を探したいでしょう。最大対最小の対角要素の比率は、条件番号です。考慮すべき条件番号のサイズは、作業中のマシンによって異なります

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

...しかし、一般に、その行列で線形方程式を解くと、解で base桁を失うことになります。これは、条件番号の大まかな目安です。したがって、16桁のみで作業している場合、が問題の原因になります。

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— JM

はい。ただし、条件番号を決定するための推奨される方法ではありません（その説明は別の質問に対するものです）。対角行列を反転する方法を知っていると思いますか？

— JM

「それでは、桁落ちです。これについての参考にしてください」-私はできましたが、これは本当に強化のためにコンピューティング環境で自分で実験すべきものの1つです。

— JM

、行列式は、（条件数を変化させない）、単純な再スケーリングによって任意に大きく又は小さくすることができます。特に高次元では、2の無邪気な係数によるスケーリングでさえ、決定要因を膨大に変化させます。 $\det(kA)=k^n\det A$

したがって、条件または特異点への近さを評価するために決定要因を使用しないでください。

一方、ほとんどすべての適切な数値問題では、問題を不適切にするために必要な最小の相対的摂動という意味で、条件は特異点までの距離に密接に関連しています。特に、これは線形システムに当てはまります。

— アーノルド・ノイマイアー
ソース