行列が半正定かどうかをテストする

正の半正定性を確認する必要がある対称行列のリスト${\cal L}$があります（つまり、それらの固有値は非負です）。

上記のコメントは、それぞれの固有値を計算し、それらが非負であるかどうかをチェックすることで実行できることを示しています（おそらく丸め誤差を処理す​​る必要があります）

私のシナリオでは固有値の計算は非常に高価ですが、使用しているライブラリは正の確定性（つまり、行列の固有値が厳密に正である場合）のテストが非常に高速であることに気付きました。

したがってアイデアは、マトリックス与えられたであろう$B \in {\cal L}$、あるテスト場合に$B + \epsilon I$正定値です。そうでない場合、$B$は正の半正定値ではありません。そうでない場合、の固有値を計算して、$B$それが実際に正の半正定値であることを確認できます。

私の質問は次のとおりです。

正定性の効率的なテストが提供されている場合、行列が半正定かどうかをテストするより直接的で効率的な方法はありますか？

「正定値」または「正定値」の実際の定義は何ですか？浮動小数点演算では、これに何らかの許容値を指定する必要があります。

$A$$\lambda=-1.0$$10^{30}$$\lambda=-1.0$

$-\epsilon \left| \lambda_{\max} \right|$$\lambda_{\max}$

残念ながら、行列のすべての固有値の計算にはかなり時間がかかります。別の一般的に使用されるアプローチは、対称行列が浮動小数点演算でコレスキー分解を行う場合、正定行列と見なされることです。コレスキー分解の計算は、固有値の計算よりも一桁高速です。これを正の半正定性に拡張するには、行列に小さな倍数の単位を追加します。繰り返しますが、スケーリングの問題があります。1つの高速なアプローチは、コレスキー分解を計算する前に、対角要素が1.0になるように行列の対称スケーリングを実行し、対角にを追加することです。 $\epsilon$

ただし、アプローチにはいくつかの問題があるため、これには注意が必要です。たとえば、とが浮動小数点コレスキー分解を持つという意味で正定であるが、はコレスキー分解がないという状況があります。したがって、「浮動小数点コレスキー因数分解正定行列」のセットは凸ではありません！ $A$$B$$(A+B)/2$

• カー、TH、「必要性を生む明確さと応用例のためのマトリックスのテスト」AIAA Journal of Guidance、Control、and Dynamics、Vol。１０、Ｎｏ．５、５０３〜５０６頁、１９８７年９月〜１０月。

• カー、TH、「正の半正定行列のテストの虚偽について」AIAA Journal of Guidance、Control、and Dynamics、Vol。１３、Ｎｏ．３、５７１〜５７２頁、５月〜６月。1990。

• カー、TH、「行列の正定性/半正定性の計算テストの誤り」、IEEEトランザクションズオンエアロスペースおよび電子システム、Vol。26、No。2、pp。415-421、1990年3月。[1970年代後半から1980年代初頭にかけて、著者が米国海軍の潜水艦ナビゲーションおよびソノブイソフトウェアに日常的に存在することがわかった誤ったアルゴリズムをリストし、問題を指摘します。 ]