ポリャ分布上の数値積分の提案

この問題は、ベイジアン統計モデリングプロジェクトから発生します。私のモデルで計算するために、被積分関数の一部が「ポリヤ」または「ディリクレ多項式」分布である積分を実行する必要があります。

p (n ∣ α) = \frac{(N!) Γ (K α)}{Γ (α)^{K} Γ (N + K α)} \prod_{i = 1}^{K} \frac{Γ (n_{i} + α)}{n_{i}!}

$p(n\mid \alpha) = \frac{(N!) \Gamma(K\alpha)}{\Gamma(\alpha)^K \Gamma ( N + K\alpha)} \prod_{i=1}^K \frac{\Gamma(n_i + \alpha)}{ n_i!}$

ここで、およびは整数、、およびです。一体型Iの計算に願い、、小規模に適しています $n_i$ $N = \sum_{i=1}^K n_i$ $n = \left(n_1, n_2, \dots, n_K\right)$ $\alpha > 0$ $\int_0^\infty (\text{other terms})p(n|\alpha) d\alpha$ $N$ 、しかし（MATLABで）私が試みた求積法は、が大きくなると壊れます。私はモンテカルロを試していません。私のプロジェクトでは、正確で高速な求積法が非常に便利です。 $N$

現在、が大きい場合の「最良の」方法は、アルファのグリッド上でを計算し、正規化し、指数化することです。これは不正確です（ピーク以外の分布に関する詳細はすべて失われます）が、少なくとも数値は生成されます。 $N$ $\log[p(n|\alpha)]$

この計算を改善するためのアドバイス、またはさまざまなアルゴリズム/メソッドまたは既存のソフトウェアへのポインターをいただければ幸いです。

編集：私は多分私の評価ということを追加する必要があり、計算することによって行われ計算するために、いくつか慎重に書かれたコード使用して大のため、ではありません。問題を引き起こしています。 $p(n|\alpha)$ $\log p(n|\alpha)$ $\log \Gamma(x)$ $x$

EDIT 2：さらに、「大」の値の順になり最大で、の多くの小さな値と一緒に、。他の用語は数値的に適切に動作しています。おおよその適切な尾の振る舞いと簡略化として、あなたは取ることができます $N\sim 10^8$ $n_i\sim 10^5$ $n_i$

$(\text{other terms}) = \exp(-\alpha)$

quadrature

— うん
ソース

典型的な/具体的な例の積分を与えることができますか？たとえば、n_i、N、a、および（その他の用語）の値を指定しますか？

— アンドリューモイラン

確かに！

— うん

@sydeulissie：問題を解決しましたか（典型的な例を投稿しなかったため）？

— GertVdE 2013

This is inaccurate (I lose essentially all detail about the distribution except its peaks), but at least produces a number.

なぜこれが問題になるのかわかりません。ベイジアンアプローチの結果は常にピークに支配されます（occamのかみそりを考えてください）。ローカル機能は、最終的な確率に無視できる貢献をします。

— BORT

-1

統合の場合、経験則として指数を扱う場合はガウス求積法を使用します。例として、シンプソンズ規則または台形規則で小さな領域に3次関数を統合する場合、大きなNは必要ありませんが、それらを指数関数に使用すると、収束を達成するために必要な巨大なNが生じます。したがって、常に指数ベースの内挿を使用してください（つまり、ガウス求積法）。これが失敗した場合、関数をプロットして、関数が振動している速さ、および積分領域で関数がどのように消滅/上昇するかを確認する必要があります。

— イーモン・ケニー
ソース