Thomasアルゴリズムは、対称対角優勢なスパース三重対角線形システムを解くための最速の方法ですか

Thomasアルゴリズムが、アルゴリズムの複雑さの観点から対称対角線上にあるスパース三重対角システムを解決するための最速の方法（おそらく？）かどうか疑問に思っています（LAPACKなどの実装パッケージを探していません）。トーマスアルゴリズムとマルチグリッドの両方が複雑さであることは知っていますが、マルチグリッドの定数因子はそれよりも少ないのでしょうか？マルチグリッドの方が速いように思えませんが、私は前向きではありません。$O(n)$

注：マトリックスが非常に大きい場合を考えています。直接的な方法または反復的な方法のどちらでもかまいません。

反復法（マルチグリッド）と直接/厳密法（トーマス）を正確な操作回数で比較することは、実際には意味がないと思います。IIRC、トーマス操作カウントは、すべての三重対角システムで 8 Nです。おそらく、線形解を持っているという些細なケースであると思われるマルチグリッドのビートを想像できますが、それでも各レベルで残差を評価するコストはトーマスのコストに匹敵します。$8N$

マルチグリッド）の有用性は、スパース行列に一般的であり、三重対角システムに限定されないという事実にあります。$O(N)$

簡単な答えは、トーマスアルゴリズムは、ほぼすべての場合にどの反復スキームよりも高速になるということです。例外はおそらく、Gauss-Seidelのような非常に単純な反復スキームの単一の反復を適用することですが、これは許容できる解決策を提供する可能性は非常に低いです。また、これは並列処理の問題を無視しています。

$\mathcal O(n)$$\mathcal O(n)$

$5N$$3N$$3N-2$$2N-2$

単一コア上でもマルチグリッドループはオプティマイザーによってベクトル化できます。そのため、オペレーションカウントは役立ちますが、シリアルワールドにおいても、プロセッサはベクトル並列処理を備えているため、コスト分析から解決までの時間を正確に予測できない可能性があることを忘れてはなりません。