有限集合のジェネレーターを与えられた行列リー代数の基底をどのように計算できますか？

（数値）正方複素行列の任意のセット所与、Iはによって生成された実行列リー代数計算に興味、それを呼び出します。つまり、ここで再帰的に定義されるような、およびのための。 $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

この計算は（量子）制御理論に基づいています。

現在、ここにあるメソッドを使用しています。このメソッドは、Lieブラケットの繰り返し（つまり）、終了が保証されています。ただし、他の（より高速な）方法があるかどうかを知りたいです。おそらく、P。Hallベースを使用しているのでしょうか？おそらく再帰アルゴリズムですか？私の現在のデフォルト言語はMatlabです。 $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— イアン・ヒンクス
ソース

あなたの元のジェネレータはエルミート語だと思います。これは本当ですか？もしそうなら、最初のステップはジェネレーターの固有空間を比較することだと想像します。なぜなら、固有空間が異なる場合、交換子はゼロ以外であるからです。

— ジャックポールソン

@JackPoulsonはい、Aはハミルトニアンに由来し、スキューエルミート（シュレディンガーの方程式でiが乗算されるため、エルミートではありません）です。なぜこれが良い第一歩になるのか理解していない。整流子を計算し、それらがゼロでないかどうかを確認することは、固有空間をいじるよりも高速ではないでしょうか？

— イアンヒンクス

単一レベルの整流子の場合、おそらくはい。しかし、いくつかのレベルの整流子を検討し始めると、組み合わせの爆発があります。アルゴリズムについては知りませんが、通常は可能な限り多くの構造を活用することをお勧めします。ジェネレーターに関連する他のプロパティも知っているかどうかを慎重に考えます。

— ジャックポールソン

このリンクでは、P。Hallベースを使用してこれを行う方法について説明します。

多少関連する注意点として、これを実装している場合、線形依存性のテストの数値的な不安定性を心配します。多分のノルム比較-数値の不正確さを可能にする新しい行列の独立性をテストするための方法を使用してくださいのノルムに、あなたが前に見つけた行列の空間への射影であります。 $A - p(A)$ $A$ $p$

— エリック・P
ソース

@EricPリンクをありがとう、とても便利です。私はP.ホールの基底を自由なリー代数の文脈でしか見ていませんでしたが、それについてはしっかりと把握していません。線形依存の整流を取り除くことについての私の直感が正しいことを知ってうれしいです。数値の精度は非常に心配です。p（A）のノルムをAのノルムと比較する必要があるということですか？そして、これはAp（A）のノルムを0と比較するよりも安定しますか？

— イアンヒンクス

@IanHincks：とを比較することでしたが、それは特に深い考えに基づいていませんでした。実験する必要があります。数値的に最良の基準は、すべての行列をベクトルとして表示し、それらを隣り合わせて破棄して得られる長方形行列のスパースSVDを実行することです。最小の特異値が非常に小さい場合、最後に追加された「ベクトル」。しかし、それは計算上非常に高価になります。まず、本当に必要かどうかを確認します。必要な場合は、まず安価なテストを最初に行います。

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$

— エリックP.