純粋に回転する最小二乗一致

誰でも次の最小二乗問題の方法を推奨できますか？

最小化するを見つける：、ここでRはユニタリ（回転）マトリックス。$R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$$\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \min$$R$

$\sum\limits_{i=0}^N (Ax_i - b_i)^2 \rightarrow \min$（任意の$A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$）を最小化することにより、近似解を得ることができますマトリックス$A$および：

• SVDの計算：$A = U \Sigma V^T$、$\Sigma$をドロップし、R \ approx UV ^ Tを近似$R \approx U V^T$
• 極分解の計算：$A = U P$、スケールのみの対称（および私の場合は正定値）$P$をドロップし、R \ approx Uを近似する$R \approx U$

QR分解も使用できますが、アイソメトリックではありません（座標系の選択に依存します）。

少なくともおおよそですが、上記の2つの方法よりも優れた近似でこれを行う方法を知っている人はいますか？

この問題はWahbaの問題と呼ばれ、そのアルゴリズムの1つはKabschアルゴリズムと呼ばれ、後のより一般的なものはDavenport q methodと呼ばれます。航空機の方向を決定するために、航空学で使用され、研究されているようです。メソッドについては多くのレビューがあります。

最適なものには反射が含まれることがあることに注意してください。

Kabschメソッドは、3x3共分散行列SVDを計算し、項をドロップします（モジュロ1の反射。通常、SVD のの最後の列を否定することで考慮されます）。他の次元数に一般化することは非常に簡単です。$\Sigma$$U$

Davenport qメソッドは、最初の実用的なアルゴリズムとして頻繁に宣伝されています。おそらく誰かがコメントすることができます。また、3x3共分散行列を構築しますが、その後、四元数の関数として回転行列をパラメーター化し、問題は対称4x4行列の最大固有値固有ベクトルを計算する問題になります。

（一部）最も人気のある数値実装はQUESTおよびFOMAと呼ばれます。これらの方法は通常、特性多項式（4次）を書き出して最適化し、解析的に解く（かなり複雑な計算、Kardano式を通過する）か、ニュートン反復で最大固有値を計算するというテーマのバリエーションです。

Schusterはまた、いくつかの反復アルゴリズムのバリアントを開発および分析しました。