切り捨てられたSVDの計算、一度に1つの特異値/ベクトル

特異値を1つずつ計算する切り捨てSVDアルゴリズムはありますか？

私の問題：大きな密行列の最初の特異値（および特異ベクトル）を計算したいのですが、適切な値がわかりません。は大きいため、効率上の理由から、後で最小のSVを切り捨てるためだけに完全なSVDを評価するのではなく、$k$$M$$k$$M$

理想的には、特異値を最大（）から最小（）まで連続的に計算する方法があるでしょう。そうすれば、があるしきい値を下回った場合に、番目の特異値を計算した後で計算を停止することができます。$\sigma_1, \sigma_2,\ldots$$\sigma_1$$\sigma_n$$k$$\sigma_k/\sigma_1$

そのようなアルゴリズムは存在しますか（できればPython実装で）？私のグーグル検索では、kをパラメーターとして使用する切り捨てられたSVD関数のみを見つけたので、アプリオリに推測する必要があります。

おおよそのランクk因数分解が必要な場合は、いくつかのオプションを使用できます。

1. 強力にランクを明らかにするQR分解
2. 補間分解（ID）およびその他のランダム化された手法。

上記の形式のおおよその因数分解は、標準的な手法を使用して、QRやSVDなどの標準的な分解に変換できます。Halko、Martinsson、およびTroppによる論文「ランダム性を備えた構造の検出：近似行列分解を構築するための確率的アルゴリズム」の優れたレビューが利用可能です。

ソフトウェアの観点から、IDアルゴリズムへのインターフェースはscipy（scipy.linalg.interpolative）http://docs.scipy.org/doc/scipy-dev/reference/linalg.interpolative.htmlで利用でき、ユーザーが指定できます。。$\epsilon$

（編集、私は最初に質問を誤って読んだので、あなたはすでに最初の特異値を計算するために利用できるルーチンがあることを知っています。）$k$

SVD全体を計算するアプローチを除外すると、部分的なSVDアルゴリズムは、関連するエルミート固有値問題を解くために反復法を使用することになります。したがって、取れる戦略の1つは、この種のことを自分で手動でコーディングし、シフトアンドインバート戦略などを使用して、停止するまで、解決されていない最大の特異値を解決し続けることです。SLEPcのような洗練されたパッケージでこの種のことを行うエレガントな方法があるかもしれません。

別の戦略は次のようになります：

• 最大の特異値計算します。$s_{1}$
• スパースSVDルーチンの絶対許容誤差をに設定します。ここで、はしきい値であり、は、必要な余分な特異値の数を決定するための安全係数です計算する。$\tau \cdot s_{1} \cdot f$$\tau$$0 < f \leq 1$
• スパースSVDルーチンを呼び出します。

スパースSVDルーチンが薄いSVDを計算する（そして、なぜそうならないのかわからない）場合、この方法では、必要なすべての特異値（およびいくつかの追加の値）が得られます。ゼロとして扱われます。その場合、scipy.sparse.linalg.svdsを使用できますはオプションのパラメーターであり、事前に指定する必要がないことに注意してください。$k$