3次固有値問題に対するJacobi-Davidson法の実装

私は大きな三次固有値問題を抱えています：

(A_{0} + λ A_{1} + λ^{2} A_{2} + λ^{3} A_{3}) x = 0.

$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$

これを線形固有値問題に変換することで解決できますが、システムは大きさになります。 $3^2$

[\begin{matrix} - A_{0} & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & I \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = λ [\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ I & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$

ここで、およびです。3次固有値問題を解決するために利用できる他の技法は何ですか？解決するJacobi-Davidsonのバージョンがあると聞きましたが、実装は見つかりませんでした。 $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

また、ARPACKのシフトアンドインバート法と同様に特定の固有値をターゲットにして、関連する固有ベクトルを見つけることができる必要があります。

c++ eigensystem eigenvalues

— 大瀬
ソース

含まれる行列の次元は何ですか？

— Bill Barth 2014年

は

オーダーです。この問題には2つの異なる定式化があります。1つは

が密で、もう1つはまばらです。

A_{i}

$\mathbf{A}_i$

10000 \times 10000

$10000\times 10000$

A_{i}

$\mathbf{A}_i$

— OSE

SLEPcには、2次固有値問題と非線形固有値問題のルーチンがあるため、必要なものを見つけることができる場合があります。また、シフトアンドインバート機能があり、ARPACKへのインターフェイスがあります。

— Geoff Oxberry 2014年

ARPACKの逆通信プロトコルでは、行列を明示的に保存する必要はありません。次の2つの関数を提供するだけで計算できます。 $3n \times 3n$

および $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

（まだ次元のベクトルを保存する代価を払っていますが、行列には何も支払っていません）。 $3\times n$

$x \mapsto M^{-1} x$ $x \mapsto M x$ $\lambda's$ $\lambda^{-1}$ $M^{-1}x$ $M$ $A_0$

— ブルーノレヴィ
ソース