ランチョス法を使用して固有値と固有ベクトルを計算する方法

私は疎で対称的な行列A（nxn）を持っています。ランチョス法は、行列Aを3対角および対称行列Tと行列Vのランチョスベクトルに変換します。そこから、k最小または最大固有値と対応する固有ベクトルをどのように計算しますか？

• 固有値、単に取るの最大または最小固有値Tを。Lanczosの反復回数がkに比べて多い場合、これらはAの適切な近似です。$k$$T$$A$$k$

• 固有ベクトルも必要な場合は、少し注意が必要です。
  最も簡単な方法は、各固有ベクトル乗算することでの TのことでV左にVはあなたが言ったように、ランチョスベクトルの集合です。しかし、丸め誤差によりLanczosベクトルの直交性が失われるため、このアプローチは行列の多くのクラスには不十分です（1）。 より良い方法は、グラムシュミットステップを実行して、VのLanczosベクトルを再直交化することです。 ましょうzはであるI番目のランチョスベクトルが計算され、およびlet Q 1、Q 2、$\mathbf{u}_i$$T$$V$$V$
  
  $V$
  $\mathbf{z}$$i$は以前のランチョスベクトルです。我々のmutate Zの全成分除去するように、Zのいずれかに平行であり、Q 1、Q 2、⋯ 、Q I - 1： Z ' = Z - 、I - 1 Σ J = 1（Z T Q J）Q j ランチョスベクトルの数値の直交性を保証するために、2回再直交化する必要があることがわかります（2）。$\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \cdots, \mathbf{q}_{i-1}$$\mathbf{z}$$\mathbf{z}$$\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \cdots, \mathbf{q}_{i-1}$

  $$\mathbf{z}' = \mathbf{z} - \sum_{j=1}^{i-1}(\mathbf{z}^{T}\mathbf{q}_j)\mathbf{q}_j$$

参照

1. J. Demmel、応用数値線形代数
2. B.パーレット、対称固有値問題