不連続ガラーキン：節点とモードの長所と短所

不連続ガラーキン法で解を表す一般的なアプローチには、ノードとモーダルの2つがあります。

1. モーダル：解は、モーダル係数の和に多項式のセットを掛けたもので表されます。たとえば、ここで、ϕ $u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$は通常、直交多項式、たとえばルジャンドル。この利点の1つは、直交多項式が対角質量行列を生成することです。

2. 節点：セルは、ソリューションが定義される複数のノードで構成されます。セルの再構築は、補間多項式のフィッティングに基づきます。たとえば、ここで、l iはラグランジュ多項式です。この利点の1つは、ノードを直交点に配置して積分をすばやく評価できることです。$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

大規模の文脈では、複合（ - 10 $10^6$$10^9$のDOF）3Dは、柔軟性、実装の明瞭さ、および効率の目標と構造化/非構造化並列アプリケーションを混合し、各方法の比較長所と短所は何ですか？

すでに優れた文献が存在していると確信しているので、誰かが私にも素晴らしいものを教えてくれるとしたら。

以下のトレードオフは、DGとスペクトル要素（またはバージョンの有限要素）に等しく適用されます。$p$

pのように要素の順序を変更する$p$ -adaptivityのと、既存の基底関数は変わらないため、モーダル基底の方が簡単です。これは一般にパフォーマンスとは関係ありませんが、とにかく気に入っている人もいます。モーダルベースは、一部のアンチエイリアシングテクニックのために直接フィルタリングすることもできますが、これもパフォーマンスのボトルネックではありません。特別な演算子（通常はラプラシアン行列と質量行列）の要素内のスパース性を公開するために、モード基底も選択できます。これは可変係数または非アフィン要素には適用されず、通常3Dで使用される控えめな次数では節約量は大きくありません。

節点ベースは、要素の連続性の定義を単純化し、境界条件、接触などの実装を単純化し、プロットしやすく、より良いhにつながります$h$-離散化された演算子の楕円率（したがって、より安価なスムーザー/前提条件の使用が可能）。また、リジッドボディモード（節点座標のみを使用）などのソルバーが使用する概念を定義し、マルチグリッドメソッドで発生するような特定のグリッド転送演算子を定義するのも簡単です。組み込みの離散化も、基礎の変更を必要とせずに、事前調整に容易に利用できます。節点の離散化は（スペクトル要素法と同様に）連結された求積法を効率的に使用でき、対応する過小積分はエネルギー保存に適しています。一次方程式の要素間結合は、節点基底ではより疎ですが、そうでなければモーダル基底は同じスパース性を得るためにしばしば修正されます。

私はこの質問に対するいくつかの答えを見たいと思っていましたが、どういうわけか誰も返事を気にしません...

文学に関しては、計算流体力学のためのSpectral / hp Element Methods（現在は安価なソフトカバー版もあります）とHesthavenとWarburtonの本が大好きです。これら2つは、メソッドの実装に役立つかなり詳細になります。著書Canuto、Hussaini、Quarteroniと奘は、より理論的です。これには、第2巻「スペクトル法：複雑な幾何学への進化と流体力学への応用」もあります。

私はDG法に取り組んでおらず、節点とモードの利点を判断する専門家ではありません。Karniadakis＆Sherwinの本は、連続的なモード拡張を伴う方法に焦点を当てています。このタイプの方法では、グローバル展開の連続性を維持するために、インターフェイス上の対応するモードが一致するように、2つの隣接する要素のモードを並べ替える必要があります。さらに、境界条件を課すには、モードが境界上の特定の場所に関連付けられていないため、特別な注意が必要です。

このタイプのメソッドに精通している人が詳細を追加してくれることを願っています。