MATLABバックスラッシュ演算子は、正方行列の

いくつかのコードを「ストック」MATLABコードと比較していました。その結果には驚きました。

サンプルコードを実行しました（スパースマトリックス）

n = 5000;
a = diag(rand(n,1));
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('Inv(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

結果 ：

    For a\b
    Elapsed time is 0.052838 seconds.

    For LU
    Elapsed time is 7.441331 seconds.

    For Conj Grad
    Elapsed time is 3.819182 seconds.

    Inv(A)*B
    Elapsed time is 38.511110 seconds.

密行列の場合：

n = 2000;
a = rand(n,n);
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('For INV(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

結果：

For a\b
Elapsed time is 0.575926 seconds.

For LU
Elapsed time is 0.654287 seconds.

For Conj Grad
Elapsed time is 9.875896 seconds.

Inv(A)*B
Elapsed time is 1.648074 seconds.

一体どれほどすごいのですか？

Matlabでは、 '\'コマンドは、マトリックスAの構造に依存し、Aのプロパティのチェック（小さなオーバーヘッド）を含むアルゴリズムを呼び出します。

1. Aがスパースでバンド化されている場合、バンド化ソルバーを使用します。
2. Aが上三角行列または下三角行列の場合、後方置換アルゴリズムを使用します。
3. Aが対称で、実数の正の対角要素を持つ場合、コレスキー分解を試みます。Aがスパースの場合、最初に並べ替えを使用して、塗りつぶしを最小限にします。
4. 上記の基準がいずれも満たされない場合は、部分ピボットを使用したガウス消去法を使用して一般的な三角分解を行います。
5. Aがスパースの場合、UMFPACKライ​​ブラリを使用します。
6. Aが正方でない場合、未決定のシステムに対してQR分解に基づくアルゴリズムを使用します。

オーバーヘッドを削減するには、Matlabでlinsolveコマンドを使用し、これらのオプションの中から適切なソルバーを自分で選択することができます。

a\b特定のマトリックスで何が行われるかを確認spparms('spumoni',1)する場合は、どのアルゴリズムに感銘を受けたかを正確に設定して把握できます。例えば：

spparms('spumoni',1);
A = delsq(numgrid('B',256));
b = rand(size(A,2),1);
mldivide(A,b);  % another way to write A\b

出力します

sp\: bandwidth = 254+1+254.
sp\: is A diagonal? no.
sp\: is band density (0.01) > bandden (0.50) to try banded solver? no.
sp\: is A triangular? no.
sp\: is A morally triangular? no.
sp\: is A a candidate for Cholesky (symmetric, real positive diagonal)? yes.
sp\: is CHOLMOD's symbolic Cholesky factorization (with automatic reordering) successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's numeric Cholesky factorization successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's triangular solve successful? yes.

この場合、「\」が「CHOLMOD」を使用することになったことがわかります。

疎行列の場合、Matlabは\操作にUMFPACKを使用します。これは、例では、基本的にの値を実行し、aそれらを反転し、それらの値で乗算しますb。ただし、この例b./diag(a)では、はるかに高速なを使用する必要があります。

高密度システムの場合、バックスラッシュ演算子はもう少し複雑です。いつ行われるかの簡単な説明はここに与えられます。その説明によると、あなたの例では、Matlabはa\b後方置換を使用して解決します。一般的な正方行列の場合、LU分解が使用されます。

経験則として、合理的な複雑さのスパース行列がある場合（つまり、5ポイントのステンシルである必要はありませんが、実際には行ごとの非ゼロの数がストークス方程式の離散化である場合があります） 5）よりはるかに大きい場合、UMFPACKなどのスパースダイレクトソルバーは、通常、問題が100,000程度の未知数より大きくない場合、反復Krylovソルバーに勝ります。

言い換えると、2次元離散化の結果生じるほとんどのスパース行列では、直接ソルバーが最速の代替手段です。100,000を超える未知数をすばやく取得する3D問題の場合のみ、反復ソルバーを使用することが不可欠になります。