PID制御では、極と零点は何を表していますか？

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制御（PID制御など）に関するテキストを読むときはいつでも、「極」と「零点」に言及しています。それはどういう意味ですか？ポールまたはゼロはどのような物理的状態を表しますか？

control pid

ああ、私たちはそれらの制御を学んだことを覚えていますが、それらを忘れてしまいました。一部の関数が0または無限大（零点と極）に到達する場所、およびs空間（ラプラス変換後か）で零点から極へと始まるいくつかの曲線があったことなど。図が美しく見えたのを覚えていますが、他には何も覚えていません。

— Shahbaz 2012年

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$T(\mathbf{x})$

$N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$ $N$ $D$

T (x) = \frac{N (x)}{D (x)}

$T(\mathbf{x}) = {N(\mathbf{x})\over D(\mathbf{x})}$

$x$ $N(\mathbf{x}) = 0$ $N(\mathbf{x})$ $N(\mathbf{x})$

$x$ $D(\mathbf{x}) = 0$ $D(\mathbf{x})$ $D(\mathbf{x})$

極と零点により、システムがさまざまな入力にどのように反応するかを理解できます。極はシステムの安定性に関する情報を提供する一方で、零点は周波数をブロックするその能力にとって興味深いものです。一般に、極と零点を複素平面にプロットし、極が複素平面の左半分（LHP-左半分平面）にある場合、システムは有界入力有界出力（BIBO）で安定していると言います。

最後に、コントローラーを設計するときは、特定の設計パラメーターを実現するために、極と零点を実際に操作しています。

— DaemonMaker
ソース

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ありがとう、でも私は賢く感じません。制御コンテキストにおける零点と極の意味を説明できますか？

— Rocketmagnet

リクエストごとにもう少し追加しました。それがお役に立てば幸いです。

— DaemonMaker '19

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ここ@Rocketmagnetの問題は、これがかなり広いトピックであることだと思います。私はおそらくそれをあなたの質問に答える本全体を想像することができるなら、あなたはあまりに多く質問しているというカテゴリーに入れるでしょう。

— マークブース

素人の場合は、ここで入力と出力がラプラスドメインにあることも明確にする必要があります。Mark Boothが述べているように、極と零点が制御において重要である理由は、複雑な輪郭積分と、微分方程式がラプラス領域で代数方程式に変換できるという事実によるものです。極は、システムが時間内に振動する量（リップル）と、時間とともに指数関数的に減衰または成長する方法の両方を特徴付けるものと考えることができます。ただし、全体的に、直感を学習する必要があり、迅速かつ迅速な物理的な説明はありません...

— daaxix

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これらの多項式伝達関数は、実際にロボットを記述している、またはある望ましい状態でロボットのダイナミクスを線形化した結果である線形微分方程式に対してラプラス変換を実行すると発生します。その状態の周りの「テイラー展開」のようにそれを考えてください。

ラプラス変換は、周期的でない関数へのフーリエ変換の一般化です。電気工学では、ラプラス変換は、周波数領域でのシステムの表現として解釈されます。つまり、システムが入力信号から周波数を送信する方法を説明します。ゼロは送信されない周波数を表します。また、DaemonMakerですでに述べたように、システムの安定性を検討する場合、極は重要です。システムの伝達関数は、極の近くで無限大になります。

コントロールコンテキストでの意味：

極：システム（制御則を使用してフィードバックループを挿入した新しいシステムの場合もあります）が安定しているかどうかを通知します。通常、システムを安定させる必要があります。したがって、システムのすべての極を左半平面に配置する必要があります（つまり、極の実数部はゼロより小さくなければなりません）。極は、システム行列の固有値です。それらが左半平面にどれだけ離れているかは、システムがその静止状態に収束する速さを示します。それらが仮想軸から離れているほど、システムの収束は速くなります。

零点：極が右半平面または左半平面にあるが、虚数軸に近すぎる場合に便利です。システムを巧妙に変更することで、不要な極に零点をシフトして消滅させることができます。それら。

— ダニエル・エバーツ
ソース

これを説明するためにいくつかの画像を追加できますか？

— イアン

私の長い不在のため申し訳ありません。私が現在しなければならない多くの勉強の仕事と関係があります。必要に応じて、時間のあるときにすぐに追加できます。

— Daniel Eberts 2013年

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言われていることとは逆に、制御対象のプラントの極がRHPにある場合、極/ゼロ相殺は決して実行されません。その理由は、極とゼロとの非常に小さな差でも、それを消滅させるために合計すると、増強され、システム応答が発散するためです。注意：決して！

— Ugo Pattacini 2014

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伝達関数の零点について実際に話すことはできませんが、伝達関数の極には確かに意味のある解釈があります。

次のいずれかのこの解釈を理解するには、我々がコントロールしたいというシステムが実際には2つのものの一つであることを覚えておく必要が微分方程式や差分方程式。どちらの場合でも、これらの方程式を解くための一般的なアプローチは、それらの固有値を決定することです。さらに重要なことに、システムが線形の場合、微分/微分方程式の固有値は伝達関数の極に正確に対応します。したがって、極を取得することで、元の方程式の固有値を実際に取得しています。システムの安定性を実際に決定するのは、（私の意見では）元の方程式の固有値です。線形システムの極が元の方程式の正確な固有値であることは、驚くべき偶然です。

これを説明するために、2つのケースを個別に検討します。

ケース1：微分方程式

$x(t)=Ce^{\lambda t}$ $\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$ $t\rightarrow \infty$ $Re(\lambda)<0$ $Re(\lambda)\ge 0$ $e^{\lambda t}$

ケース2：差分方程式

$x_t=C\lambda^t$ $\lambda$ $x_t\rightarrow 0$ $t\rightarrow\infty$ $|\lambda|<1$ $|\lambda|\ge 1$ $\lambda^t$

どちらの場合も、システム関数の極と（均一）微分/微分方程式の固有値はまったく同じです！私の意見では、固有値は安定条件をより自然な方法で説明するので、極を固有値として解釈する方が私には理にかなっています。

— ポール
ソース