ブラケット表記はどのように機能しますか？

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量子アルゴリズムは、その説明で頻繁にブラケット表記を使用します。これらの括弧と縦線はすべてどういう意味ですか？例： $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

これは間違いなく数学に関する問題ですが、このタイプの表記法は、量子計算を特に扱う場合に頻繁に使用されるようです。他のコンテキストで使用されたことを見たことはありません。

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最後の部分では、線形代数の標準表記を使用してベクトルと内積を表すことが可能であり、これらのオブジェクトと演算子を使用する他のフィールドは、ブラケット表記を使用せずに表記できることを意味します。

これは、量子アルゴリズムを表すのにブラケットが特に便利な理由や理由があると結論付けることにつながります。それは事実の主張ではなく、私はそれを観察として意味しました。「他の場所で使用されていることを確認したかどうか」は、「他のコンテキストでは使用されていません」と同じ文ではありません。

notation

— エラ・ローズ
ソース

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関連：どのように

T E X

$\TeX$ ブラ-ケット記法メタに。

— ナット・

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他の人がすでに説明したように、ket は単なるベクトルです。ブラジャーはベクトルのエルミート共役です。通常の方法でベクトルに数値を掛けることができます。 $\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

ここからが楽しい部分です。2つのベクトルとのスカラー積をとして記述できます。 $\left|\psi\right>$ $\left|\phi\right>$ $\left<\phi\middle|\psi\right>$

ベクトルに演算子を適用できます（有限次元では、これは単なる行列乗算です）。 $X\left|\psi\right>$

全体として、表記法は非常に便利で直感的です。詳細については、Wikipediaの記事または量子力学の教科書を参照してください。

— jknappen-モニカの復職
ソース

「braはエルミート共役です。」ベクトルのエルミート共役とは何ですか？そして、は、ベクトルとの内積にすぎませんか？

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{⊤} ψ

$\phi^\top \psi$

ϕ

$\phi$

ψ

$\psi$

— 開発者

ベクトルには、列ベクトルと行ベクトルの2種類があります。列ベクトルのエルミート共役は、複素共役要素を持つ行ベクトルであり、逆も同様です。

— jknappen-モニカの復活

複雑な共役要素？

— 開発者

行列要素のような要素。ベクトルについて話すときは、より一般的な「コンポーネント」という用語を使用することもできます。

— jknappen-モニカの復活

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はい、は内積ですが、ベクトル空間は複素数なので、式はです。エルミート共役の短剣に注意してください。単なる転置ではありません。

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{†} ψ

$\phi^\dagger\psi$

— jknappen-モニカの復活

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とは、2次元の複素ベクトル空間に存在する量子ビットの 2つの正規直交基底状態（「ケト」で表される）と考えることができます。表示される線と括弧は、基本的には量子力学で一般的に使用されるブラケット表記、別名ディラック表記です。 $|0\rangle$ $|1\rangle$

例として、は電子のスピンダウン状態を表し、はスピンアップ状態を表します。しかし実際には、電子はこれらの2つの状態の線形重ね合わせ、つまり（通常は）ここで。 $|0\rangle$ $|1\rangle$ $|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ $\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$ $a,b\in \Bbb{C}$

— サンチャヤン・ドゥッタ
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これらの括弧と縦線はすべてどういう意味ですか？

という表記は、またはとまったく同じことを意味します。つまり、名前が「v」のベクトルを示します。それでおしまい。それ以上の謎や魔法はありません。シンボルは、「psi」と呼ばれるベクトルを示します。 $\left \lvert v \right \rangle$ $\vec{v}$ $\textbf{v}$ $\left \lvert \psi \right \rangle$

シンボルは "ket"と呼ばれますが、意味をまったく失うことなく "vector"と呼ぶこともできます（私の意見ではそうすべきです）。 $\left \lvert \cdot \right \rangle$

これは間違いなく数学に関する問題ですが、このタイプの表記法は、量子計算を特に扱う場合に頻繁に使用されるようです。他のコンテキストで使用されたことを見たことはありません。

表記法は物理学者（Paul Dirac）によって発明されたもので、「ディラック表記法」または「ブラケット表記法」と呼ばれます。私が知る限り、ディラックはおそらく量子力学を研究している間に発明したので、歴史的には、表記法は主に量子力学、すなわち量子状態に現れるベクトルを示すために使用されてきました。Bra-ket表記は、量子計算だけでなく、あらゆる量子力学のコンテキストにおける標準です。たとえば、シュレディンガー方程式は、量子システムのダイナミクスと関係があり、量子計算が数十年前に行われているため、ブラケット表記を使用して記述されています。

さらに、表記法は他の線形代数のコンテキストでは非常に便利であり、量子力学の外部で使用されます。

— ダニエルサンク
ソース

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これは、量子アルゴリズムを表すのにブラケットが特に便利な理由や理由があると結論付けることにつながります。

すでに受け入れられた答えと、「ket」、「bra」、およびスカラー積表記法を説明する答えがあります。

強調表示されたエントリにもう少し追加してみます。何が便利/便利な表記法ですか？

ブラケット表記が実際に多く使用される最初のことは、固有値に関連付けられた（通常はエルミート）演算子の固有ベクトルを非常に単純に示すことです。我々が持っていると仮定固有値方程式として、これを表すことができる、そしておそらくいくつかの余分なラベル場合を縮退ます。 $A(v)=\lambda v$ $A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$ $k$ $A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

これは量子力学全体にわたって採用されていることがわかります。運動量固有状態は、単位に応じて、または複数の粒子状態でまたはとラベル付けされる傾向があります。 ; ボーズおよびフェルミ系の職業番号表現多くの身体系 ; 通常は演算子の固有状態をとるスピン半粒子。時々およびまたはおよびとして記述されるなど $\left|\vec{k}\right\rangle$ $\left|\vec{p}\right\rangle$ $\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$ $\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$ $S_z$ $\left|+\right\rangle$ $\left|-\right\rangle$ $\left|\uparrow\,\right\rangle$ $\left|\downarrow\,\right\rangle$ $\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; 固有関数としての球面調和と機能は便利のように記述されていると及び $L^2$ $L_z$ $\left|l,m\right\rangle$ $l=0,1,2,\ldots$ $m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

表記の利便性は一つのことですが、ディラック表記による代数操作にも一種の「レゴ」感覚があります。たとえば、表記のスピン半分演算子を、ような状態で動作し oneは単に $S_x$ $S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$ $\left|\uparrow\right\rangle$

S_{x} | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} (| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↑ |) | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↑ ⟩ ⟨ ↓∣↑ ⟩ + \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩ ⟨ ↑∣↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩

$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$

以来、と。 $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

量子アルゴリズムにとって何が便利なのですか？

キュービットに適した2レベルのシステムがあるとします。これは、基底がおよびとして示される2次元の複素ベクトル空間 sayを形成します。この形式のキュービットを考えると、システムの状態はテンソル積空間より大きな空間に住んでいます。ここではディラック表記法がかなり便利です。基底状態は1と0の文字列でラベル付けされ、通常1は状態を表します。たとえば、、交換するビットフリップ演算子あるとします $V$ $\left|0\right\rangle$ $\left|1\right\rangle$ $n$ $V^{\otimes n}$ $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$ $X_i$ $1\leftrightarrow 0$ 上の番目のビット」、これは上記の文字列などではなく、単純に行動することができます、および演算子の和をとるか、Aに作用します状態の重ね合わせは、同じように簡単に機能します。 $i$ $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

わずかな注意：として書かれた状態常にというわけではありません例えば、あなたが持つ2つの同一のフェルミオンを持っています波動関数はと言い、ラベルは何らかの基底関数セットにインデックスを付けて、フェルミオンのスレーター行列式として略記であるいは。 $\left|a,b\right\rangle$ $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$ $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$

\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{1}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{2}) - ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{2}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{1}))

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$

| ϕ_{k_{1}}, ϕ_{k_{2}} ⟩

$\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$

| k_{1}, k_{2} ⟩ \neq | k_{1} ⟩ \otimes | k_{2} ⟩

$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

— におい
ソース

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ケット表記手段ベクトル私たちは、このような8つの3ビット列のすべての複雑な線形結合のスペースとして、で作業しているものは何でも、ベクトル空間に、、、など私たちが使用する可能性がありますように、量子コンピューターの状態を表すため。装飾されていないは、まったく同じことを意味します。たとえば、 ket表記は、たとえばが関心のあるベクトル空間の要素であり、ブラ表記。 $|\psi\rangle$ $000$ $001$ $010$ $\psi$ $|\psi\rangle$ $|010\rangle$

ブラジャー記法手段双対ベクトルまたはcovector -a 次関数値ベクトルのスカラーへのベクトルから、またはリニアマップある内積のとかわいく書かれ、。ここでは、任意のベクトル空間では与えられない内積の存在を想定していますが、量子物理学では通常、定義により内積をもつヒルベルト空間で作業します。ベクトルの双対は、その（エルミート）転置とも呼ばれます。 $\langle\psi|$ $|\phi\rangle$ $\psi$ $\phi$ $\langle\psi|\phi\rangle$ なぜなら、行列表現では、ベクトルは列に対応し、コベクトルは行に対応し、を乗算するとスカラーが得られるためです。（エルミート部分は、行列の転置に加えて、そのエントリの複素共役を取ることを意味します。これは実際には、さらに複素表現の行列表現を転置し番号。） $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$ $\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ $a + b i$

(| ψ ⟩ ⟨ ϕ |) | θ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ ϕ | θ ⟩ = ⟨ ϕ | θ ⟩ | ψ ⟩ = (⟨ ϕ | θ ⟩) | ψ ⟩ .

⟨ ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩^{*}

$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$

a + b i

$a + b i$

a - b i

$a - b i$

⟨ ψ | A | ϕ ⟩

$\langle\psi|A|\phi\rangle$

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

A

$A$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ 、または線形汎関数の評価として変換により得られたベクトルで線形変換により、。

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

A

$A$

表記は主に量子物理学で使用されます。数学者は物理学者が書くかもしれないところで書く傾向がある。コベクトルの; 内積の場合は、またはいずれか。そして物理学者によって記譜だろう何のため。 $\psi$ $|\psi\rangle$ $\psi^*$ $\langle\psi|$ $\langle\psi,\phi\rangle$ $\psi^*\phi$ $\psi^*A\phi$ $\langle\psi|A|\phi\rangle$

— きしむオシフェラー
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