量子回路をゼロから作成する方法

私は現在、主にEleanor RieffelとWolfgang PolakによるQuantum Computing a Gentle Introductionの本を使用して、自習をしています。

以前の章と演習を通過することは非常にうまくいきましたが（幸い、以前の章にはたくさんの例がありました）、量子回路の5番目の章に行き詰まりました。著者が提示している概念は理解していますが、おそらく例が不足しているためか、この概念を演習に適用することに問題があります。

私が問題を抱えている演習（および解決策が見つからないか、徹底的/入門的な説明が見つからない場合）は次のとおりです。

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質問：

作成する回路を設計します： from$\left| W_n \right> = \frac{1}{\sqrt{n}}(\left| 0 \dots 001 \right> + \left| 0 \dots 010 \right> + \left| 0\dots 100 \right>) + \cdots + \left| 1\dots 000 \right>)$$\left| 0 \dots 000 \right>$

「ハーディ状態」を作成する回路を設計します： $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right> + \left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$

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誰かが私を正しい方向に向けたり、いくつかの文献/チュートリアルを参照して、これらの種類の演習をよりよく理解できるようにできますか？

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おそらく関連する質問： 任意の量子状態を生成するための回路を構築するためのヒントとコツ

DaftWullieが指摘したように、$W_n$に関する質問には、ここに優れた回答のコレクションがあります。

ハーディ状態の質問（およびそのような他の多くのタスク）については、次のようにアプローチできます。

• $|0...0\rangle$始めます 0 ... 0⟩状態。
• 状態であり、「右の状態で」最初の量子ビットを入れて起動します$(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes |0...0\rangle$。ここで、$\alpha$と$\beta$は、それぞれ0と1で始まるすべての基底状態の相対的な重みです。特にハーディ状態の場合、2つの基本状態は0で始まります$\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$と2つの基底状態が1で始まり：$\frac{1}{\sqrt{12}}(\left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$。それらの相対的な重みは、振幅の2乗の合計です：$\frac{9}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}$と$\frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12}$。したがって、最初のキュービットを次の状態にする必要があります$(\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle + \sqrt{\frac{2}{12}} |1\rangle)$使用して$R_y$ゲート。
• 2番目の量子ビットを正しい状態にして、最初の量子ビットを制御として制御された$R_y$ゲートを適用して続行します。最初の2つの用語を正しくするには、用語を変換する必要があります$\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle \otimes |0\rangle$用語に$\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$変換正常状態と同じであり、$|0\rangle \otimes |0\rangle$に$\frac{1}{\sqrt{10}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$状態に影響を与えることなく$|1\rangle \otimes |0\rangle$（スタンドアロンの状態に大きな表現の観点から切り替えるときに繰り込みに注意してください！）これを行うには、あなたは0制御行うことができます$R_y$制御およびターゲットとして第2量子ビットとして、第1量子ビットとします。
• より多くのキュービットがある場合は、これを続け、より多くの制御キュービットを使用して回転をより具体的にします。

より正式で非臨時の説明が必要な場合は、Shende、Bullock、およびMarkovによるこの論文を参照できます。

「状態の作成」の問題を3つの部分に分割することで、問題を単純化できます。

1. 位相やどの状態にどの大きさがあるかを気にすることなく、必要な大きさのコレクションを準備します。
2. フェーズを修正します。
3. 順序を修正します。

次に、ハーディ状態について考えます。私たちが作る必要がある大きさは何ですか？3 / √のインスタンスが1つ必要です$3/\sqrt{12}$1/ √のインスタンスの 12および3つのインスタンス$1/\sqrt{12}$。分割し続ける「残りの振幅」状態にすることで、一度に1つずつ作成できます。

私たちは、左の励起、と一方の状態にあるすべての振幅で始まり$\ell_0 |1000...00\rangle$どこ$\ell_0=1$。私たちがやりたいことは、望ましい大きさを残しながら、励起を右方向に移動することです。だから始めに、マグニチュード3 / √を残したい$3/\sqrt{12}$$R_y(\theta_0)$$\theta$$3/\sqrt{12}|1000...00\rangle + \ell_1 |1100...00\rangle$$\ell_1|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12} |0100...00\rangle$$1/\sqrt{12}$$R_y$$\theta_1$$\ell_2|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12}|0100...00\rangle + 1/\sqrt{12} \ell_2 |0010...00\rangle$

$k$$R_z(\phi_k)$$\phi_k$

次に、正しい順序にしたい。これを行う最も簡単な方法は、出力キュービットであるいくつかの追加のキュービットを用意することです。これまでに準備した各キュービットと各出力キュービットについて、2つの間にCNOTを追加するか、しないかです。たとえば、振幅状態の場合$3/\sqrt{12}$$|11\rangle$

これらの手順を適用すると、ハーディ状態を作成するための非効率的ではあるが正しい回路が生成されます。Quirkで回路を開くことができます。

あまりワークスペースを使用せずに状態を生成したい場合、タスクは難しくなります。ただし、マグニチュード、フェーズ、順序パターンの順に従うこともできます。また、素敵なパターンを持つマグニチュードセットを準備する賢い方法もあります。たとえば、1つの振幅のみが他の振幅と異なる場合、部分的な振幅増幅を1回行うだけで状態を準備できます。