Oracleに関連するNPとBQPの分離

著者がB Q PとN Pの間のオラクル分離を与えるこの講義ノートを見ていました。彼は、「標準の対角化技法を使用してこれを厳密にすることができる」ことをほのめかしています。$\mathsf{BQP}$$\mathsf{NP}$

$\mathsf{BQP}$$A$$\mathsf{NP}^{A} \not\subseteq \mathsf{BQP}^{A}$

使用可能な対角化引数は、標準のものとはわずかに異なっているように私には思える例えば  、このようなこれらの中に見つけることができるようベイカー・ギル-Solovay定理についての講義ノート（すなわち神託があること、のためには およびoracles for）。基本的に、敵対的な入力を少し異なる方法で「設計」する方法を説明する必要があります。$A$$\mathsf P^A = \mathsf{NP}^A$$A$$\mathsf P^A \ne \mathsf{NP}^A$

この方法を使用して、であるオラクル存在を証明する方法を以下に示します。Oracle場合、言語を定義します その明確なことである非決定性チューリングマシンは、入力フォームであるかどうかを調べることができるという単純な理由のために一部の、次に文字列推測であり、、そのようなが存在する場合。目標は、$A$$\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$$A$

$$L_A = \Bigl\{ 1^n \;\Big\vert\; \exists z \in \{0,1\}^n : A(z,0) = (z,1)\Bigr\} .$$ $L_A \in \mathsf{NP}^A$$1^n$$n$$z \in \{0,1\}^n$$A(z,0) = (z,1)$$z$$L_A$は、探索問題の下限を使用して、均一なユニタリー回路ファミリーによって、有限誤差のある多項式時間で決定することはできません。$O(2^{n/2})$

1. ましょうとオラクルの検索の問題ようなものでビット入力が少なくとも必要とすべてについて、Oracleは（2/3少なくとも確率で）正確に決定するために照会。$c,N > 0$$n$$c 2^{n/2}$$n > N$
   
   

2. してみましょう、、はすべての単一のoracle回路ファミリの列挙であり、ゲートシーケンスは回路ビット入力に作用することは、厳密によりも短い時間で生成できます。（この時間制限は「均一性」条件に関連します。ここで、回路は多項式時間で決定論的チューリングマシンによって計算できます。ここで課すよりも強い条件です。これらの回路ファミリの列挙は、たとえば、決定論的チューリングマシンによって間接的にそれらを表す$\mathbf C^{(1)}\!$$\mathbf C^{(2)}\!$$\ldots$$\mathbf C^{(k)} \!= \{ C^{(k)}_n \}_{n \geqslant 0 }$$C^{(k)}_n\!$$n$$c 2^{n/2}$$\mathbf T^{(k)}$それらのゲートシーケンスを生成し、列挙したもの。）我々は、各回路ファミリーは、列挙に無限にしばしば起こるように回路ファミリを列挙する。

   • ゲートシーケンスの記述の実行時の境界から、特にはすべてのゲートよりも少なく、特によりも少なくなりオラクルへのクエリ。$C^{(k)}_n$$c 2^{n/2}$$k$$c 2^{n/2}$

   • 任意のについて、回路。検索問題の下限から、場合、オラクル関数可能な値が、オラクルによって評価されることがわかります。2/3の確率で、入力は正解ではありません。$n$$C^{(n)}_n\!$$n > N$$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$C^{(n)}_n\!$$1^n$$\exists z \!\in\! \{0,1\}^n\!:\! f(z) \!=\! 1$

   • ごとに、がこのように「失敗」する関数を選択します。$n > N$$f_n$$C^{(n)}_n$
     
     

3. LETサイズの入力にどのは、Oracleである、評価する。$A$$n > N$$f_{\!\!\:n\!\:}$

構築されたこのようにして、各回路ファミリー正しく決定することができない一部について、確率少なくとも2/3で（無限多くのこのような実際に）。次に、どの回路ファミリ、すべての入力で成功確率が2/3未満に制限されたを正しく決定しないため、は、時間構築可能な均一なユニタリ回路ファミリによってこのような境界で解決できません。。$A$$\mathbf C^{(n)}$$L_A$$n > N$$n$$\mathbf C^{(k)}$$L_A$$L_A$$p(n)$

したがって、、つまり。$L_A \notin \mathsf{BQP}^A$$\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$