キュートリット行列とゲルマン行列の幾何学

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キュートリットの幾何学についていくつかの有用な情報源が必要です。具体的には、ゲルマン行列表現に関連しています。

resource-request qutrit state-space-geometry

— アザデ・ゾフラビ
ソース

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こんにちは！ゲルマンマトリックスとキュートリットのジオメトリの関係について、具体的にどのような情報を探していますか？あなたはあなたの質問を少し拡大してもかまいませんか？

— Niel de Beaudrap

arxiv.org/abs/1501.00054 9ページ。これが探しているものと一致する場合は、さらに拡張します。

— AHusain

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qutritまたは一般的なレベルシステムを幾何学的に記述する方法はたくさんあります。これらの形状を説明したり、量子情報のさまざまな問題に適用したりする参考文献も多数あります。ここでは、かなり一般的な1つの幾何学的方法を少し詳しく説明します。 $N$

この方法はキュービットのブロッホ球の一般化ですが、ブロッホ球は純粋なキュービットと混合キュービットの両方のパラメーター空間を記述しているため（ただし、最大混合ケースではない）、キュービットケースは縮退ですが、一般的なケースでは、パラメータ空間のジオメトリは、密度行列の固有値の縮退構造に依存します。

説明は、一般の密度行列の対角の式に基づいて：レベル密度行列：最も一般的な場合にフォームを有する固有値行列であり、 $N$

ρ = U Λ U^{- 1}

$\rho = U \Lambda U^{-1}$

Λ

$\Lambda$

行列

である

に属する、すなわち、次元のユニタリ行列

次元のユニタリ群

。

Λ = d i a g (\underset{N_{1} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{1}, λ_{1}, \dots}}, \underset{N_{2} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{2}, λ_{2}, \dots}}, . . . ., \underset{N_{k} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{k}, λ_{k}, \dots}})

$\Lambda = \mathrm{diag}(\underbrace{\lambda_1, \lambda_1, …}_{N_1 \mathrm{times}}, \underbrace{\lambda_2, \lambda_2, …}_{N_2 \mathrm{times}}, ...., \underbrace{\lambda_k, \lambda_k, …}_{N_k \mathrm{times}})$

U

$U$

N

$N$

N

$N$

U (N)

$U(N)$

\sum_{i = 1}^{k} N_{i} λ_{i} = 1 a n d λ_{i} \geq 0 f o r a l l i

$\sum_{i=1}^{k}N_i \lambda_i = 1 \space\mathrm{and} \space \lambda_i \ge 0 \space \mathrm{for \space all}\space i$

N_{i}

$N_i$

U (N_{i})

$U(N_i)$

\frac{U (N)}{U (N_{1}) \times U (N_{2}) \dots \times U (N_{k})}

$\frac {U(N)}{U(N_1) \times U(N_2) … \times U(N_k)}$

d = N^{2} - \sum_{i} N_{i}^{2}

$d = N^2-\sum_i N_i^2$

Λ = d i a g (1, 0, 0)

$\Lambda = \mathrm{diag}(1, 0, 0)$

C P^{2} = \frac{U (3)}{U (1) \times U (2)}

$\mathbb{C}P^2 = \frac {U(3)}{U(1) \times U(2)}$

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$4$

v = \frac{1}{\sqrt{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}}} (\begin{matrix} 1 \\ z_{1} \\ z_{2} \end{matrix})

$v = \frac{1}{\sqrt{1+|z_1|^2+|z_2|^2}}\begin{pmatrix}1 \\z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}$

(z_{1}, z_{2})

$(z_1, z_2)$

C P^{2}

$\mathbb{C}P^2$

ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = v v^{†} = \frac{1}{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}} (\begin{matrix} 1 & {\bar{z}}_{1} & {\bar{z}}_{2} \\ z_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{2} \\ z_{2} & z_{2} {\bar{z}}_{1} & z_{2} {\bar{z}}_{2} \end{matrix})

$\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = v v^{\dagger} = \frac{1}{1+|z_1|^2+|z_2|^2}\begin{pmatrix}1 &\bar{z}_1 & \bar{z}_2 \\ z_1 &z_1 \bar{z}_1 & z_1 \bar{z}_2 \\ z_2 &z_2 \bar{z}_1 & z_2 \bar{z}_2 \end{pmatrix}$

ω_{α \bar{β}} = t r \partial_{α} ρ {\bar{\partial}}_{β} ρ

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \mathrm{tr}\partial_{\alpha} \rho \bar{\partial}_{\beta} \rho$

ω_{α \bar{β}} = \partial_{α} {\bar{\partial}}_{β} K

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \partial_{\alpha} \bar{\partial}_{\beta} K$

K = \ln (1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})

$K = \ln(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)$

G_{i}, i = 1, \dots, 8

$\mathbf{G}_i, \space i=1,…,8$

G (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = t r (ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) G_{i})

$G (z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = \mathrm{tr}(\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) \mathbf{G}_i)$

$\mathbb{C}P^2$ $\mathfrak{su}(3)$

{G_{i}, G_{j}} = ω^{α \bar{β}} (\partial_{α} G_{i} {\bar{\partial}}_{α} G_{j} - \partial_{α} G_{j} {\bar{\partial}}_{α} G_{i})

$\{G_i, G_j\} = \omega^{\alpha \bar{\beta}} (\partial_{\alpha} G_i \bar{\partial}_{\alpha} G_j - \partial_{\alpha} G_j\bar{\partial}_{\alpha} G_i )$

$\omega$

このqutritの定式化は、量子情報理論における多くのアプリケーションを許可します。たとえば、このパラメータ化を使用してSIC-POVMを構築するHughstonおよびSalamonを参照してください。

A_{α} = (\partial_{α} - {\bar{\partial}}_{α}) K

$A_{\alpha} = (\partial_{\alpha} - \bar{\partial}_{\alpha })K$

$\mathbb{C}P^N$

$\mathbb{C}P^2$

g_{α \bar{β}} = \frac{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}) δ_{α β} - z_{α} \bar{z_{β}}}{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})^{2}}

$g_{\alpha \bar{\beta}}= \frac{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)\delta_{\alpha \beta}-z_{\alpha} \bar{z_{\beta}} }{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)^2}$

— デビッドバーモシェ
ソース

ω_{K K S}

$\omega_{KKS}$

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@AHusain参照ありがとうございます！メトリックとフィッシャー情報マトリックスの関係について言及していただきありがとうございます。実際、上記のKKS形式の最初の方程式は、命題II.2の方程式と同じです。、複雑な座標で表されます。すでに述べたように、これらの著者は同じ複雑なパラメーター化を使用していません。彼らはむしろ接線空間で作業することを好みます。これは、多様体が均質であるため可能ですが、状態空間の体積などのグローバルな幾何学的量をパラメーター化で評価することは困難です。

— David Bar Moshe

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はい、難しいです。ケーラー構造の代わりにフィッシャー情報構造を持つ同じ多様体は、はるかに醜いです。その論文の著者と私は、2つの構造のベリーフェーズの違いを確認しようとしましたが、何もきれいではありません。

— AHusain

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I need some useful sources about the geometry of qutrit.

キュートリットの形状について私が知っている最も有用なリソースは、紙のジオメトリの一般化されたブロッホ球のキュートリットです。

Specifically related to the Gell-Mann matrix representation.

パウリ行列の3レベルシステムへの一般化の1つを形成する8つのゲルマン行列は、「キュートリットのブロック表現」と呼ばれることのあるものに関与しています。これについては、上記のリンク先の論文の4ページで説明されています。

クトリットの幾何学の数学に興味がある場合は、上記のリソースがおそらく最良のものです。あなたがクトリットの視覚化にもっと興味を持っているなら、qutritのペーパー三次元視覚化は私が知っている最高のリソースです。高次元クディットのためのブロッホ球の一般化は、ブロッホ球が2レベルシステムの場合のように単純でエレガントになることはありません。

— ユーザー1271772
ソース