BB84でチャネルが安全であることを確認するために、アリスとボブは何ビット比較する必要がありますか？

私は、Quantum Computing A Gentle Introduction本を読んでqmcを自習しようとしていましたが、セクション2.4では、量子鍵配布プロトコルBB84について説明しています。（思った）後、エクササイズ2.9と2.10に取り掛かった。

例 2.9は、BB84にEveが存在しないことをアリスとボブが90％確信するために比較する必要があるビット数を尋ねています。したがって、私が正しく理解した場合、BB84は次のようになります。

1. アリスは2つの基底から光子の基底/偏光をランダムに選択しますおよびは、ビット情報0または1をエンコードします（エンコードルールは既知です。たとえば、| 0 \ rangleは0を表します）。次に、そのようなフォトンのシーケンスをボブに送信します。$\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle \}$$\{ |+\rangle, |-\rangle \}$$0$$1$$|0\rangle$$0$
2. ボブは光子のシーケンスを受け取り、2つの同じベースからランダムに基底を選択し、各光子のメジャーを測定します。
3. 次に、選択したベースを比較し、異なる方法でベースを選択したベースを破棄します。ボブは、アリスが送信しようとしているビットを把握できるはずです。（たとえば、使用するベースが$\{ |0\rangle, |1\rangle \}$あり、ボブが基底$|1\rangle$を使用して測定したが光強度が$0$場合、アリスの偏光が$|0\rangle$ことを知っているため、ビット情報は$0$）。
4. 安全性を高めるために、ビットのサブセットも比較します。干渉がない場合、ビットはすべて一致しているはずです。彼らはこれらのビットを破棄し、残っているのは鍵です。

一方、イブは、アリスからの光子をインターセプトし、2つのベースからランダムに測定し、測定に使用した基準をボブに送信します。アリスとボブがベースを公に比較した後、イブはボブが受け取るはずだった光子を必然的に変更しましたが、キーのを確実に知ることができます。$25%$

だから最初の質問に答える。2.9、アリスとボブがビットのサブセットを比較するときのさまざまなシナリオを挙げました。

アリスが送信するとします。$|0\rangle$

1. Eveもで測定する確率はあり、検出されません。$0.25$$|0\rangle$

2. $0.25$を使用して測定するイブは、ボブがアリスと反対のビット値を取得するため、確実に検出されます。$|1\rangle$

3. $0.25$| + ⟩ | + ⟩ | 0 ⟩ 0.5 | 1 ⟩ 0.5 0.25 × （0.5 + 0.5 ）= 0.25イブがを使用して測定する確率で、ボブはを受信し、ボブがを使用して確率で同じ値を取得する場合、それ以外の場合はを使用して測定するが、確率で正しいビット。つまり、$|+\rangle$$|+\rangle$$|0\rangle$$0.5$$|1\rangle$$0.5$$0.25 \times (0.5 + 0.5) = 0.25$

4. 3と同じ、0.25

したがって、イブが検出されない可能性を合計すると、それはであり、イブが検出されないビットのシーケンスをにして、、およそ。$0.25 + 0 + 0.25 + 0.25 = 3/4$$10%$$(\frac{3}{4})^n < 0.1$$n=8$

2番目の質問2.10cは、イブが2つの既知のベース（標準と）から選択するのではなく、条件を少し変更します。どちらを選択するかわからないため、ランダムに選択し、A＆Bが必要とするビット数を決定します。 90％の信頼度と比較するには？$+/-$

私のアプローチは、アリスが標準のベースを引き続き使用し、を送信するとします。これで、イブはベースで測定できますここで、 および、その後、イブは使用する基準をボブに送り返します。私は再びシナリオをリストアップしています、$\{|0\rangle |1\rangle \}$$|0\rangle$$\{ |e_1\rangle, |e_2\rangle \}$$|e_1\rangle = \cos\theta|0\rangle + \sin\theta|1\rangle$$|e_2\rangle = \sin\theta|0\rangle-\cos\theta|1\rangle$

1. イブが（0.5の確率で）で測定した場合、ボブはを受け取り、ボブが測定した場合、確率で正しいビットを取得します。その後、正しいビットを取得します。同様に、イブが使用する場合$|e_1\rangle$$|e_1\rangle$$|0\rangle$$|\cos\theta|^2$$|1\rangle$$1 - |\sin\theta|^2=|\cos\theta|^2$$|e_2\rangle$

まとめると、になります。これは確かに正しくありません！$0.5\times(2|\cos\theta|^2)+0.5\times(2|\sin\theta|^2)=1$

それから私はオンラインで検索しようとしたソリューション見つけ、ここでそれはボブが正しいビットを得る確率が代わりであると言い、：、次に積分（正規化）はこれもex2.9と同じです。$|\langle0|e_1\rangle\langle e_1|0\rangle|^2 + |\langle0|e_2\rangle\langle e_2|0\rangle|^2 =\cos^4\theta+\sin^4\theta$$[0, \frac{\pi}{2}]$$\pi/2$$\frac{3}{4}$

誰かが数学の詳細と高レベルの直観の両方でそれがである理由を説明できますか（たとえば、Eveでもそれを使用するベースがわからないのに、A＆Bで8ビット比較が必要なのはなぜですか？）$\cos^4\theta+\sin^4\theta$

どうもありがとう！

イブの不正行為についてのあなたの分析は（最終的な答えは正しいですが）正しくないようです。あなたが言う必要があるのは：アリスがベースの1つで特定の状態を準備すると仮定します。であると想定することもできますが、より一般的な引数にすることができます。$|0\rangle$

• 50％の確率で、イブはアリスが準備したのと同じ基準（この場合は0/1基準）で測定します。イブは同じ答え（0）を取得することが保証されています。ボブがアリスと同じ基準で測定する一連のケースで特に作業しているため、ボブは同じ答え（0）を取得します。イブは検出されません。

• 50％の確率で、イブは他の基準で測定します。彼女は答えを得るでしょう。実際には何でもかまいません（この場合、または）。ボブはその状態を受け取り、元の基準で測定し、50：50の確率で2つの異なる結果を取得します。Eveはアリスの選択したビットについて何も学習せず、彼女は半分の時間で検出されます。| - $|+\rangle$$|-\rangle$

全体的に、イブはビット値を半分の時間で学習し、1/4のケースで検出されます。厳密に言えば、アリスのすべての可能な入力を平均化する必要があります。しかし、この単純なケースでは、すべての結果が同じであるという十分な対称性があります。

2番目の質問では、重要な機能の1つを見逃しています。イブが測定基準を変更した場合、彼女が異なる結果を得る確率は異なります（1/2に固定したままにします）。

高レベルの手を振る：イブが0/1基準に非常に近い基準を選択した場合、アリスが送信していたビット値と同じ答えを得ることがほぼ保証されます（彼女が0/1基準で送信していた場合） 、そして彼女はほとんど検出されないことが保証されています。その根拠から遠ざかるにつれ、イブは学習することが少なくなり、検出される可能性が高くなります。しかし、トレードオフは、アリスが他の基準を使用した場合、検出される可能性が減り、ビットに関する知識が向上することです。とはいえ、これは完全なトレードオフではありません。その理由を簡単に説明します。アリスが2つの標準ベースを使用していることを想像してみてください。イブが毎回基底測定するとどうなりますか？それは常に、$(|0\rangle\pm i|1\rangle)/\sqrt{2}$イブが検出される可能性が50％ある場合（アリスがどちらの基準を選択した場合でも）。

数学的には、あなたが言うことになっていたのは、アリスが送信したと想像することです。したがって、確率、イブは回答を取得し、ボブは確率回答を取得します。一方、確率、イブは回答を取得し、ボブに送信すると、確率回答を取得します。したがって、 アリスが送信した場合、ボブが何も検出しない確率は のcos 2 θ | E 1 ⟩ | 0 ⟩ のcos 2 θ 罪2 θ | E 2 ⟩ | 0 ⟩ 罪2 θ のcos 4 θ + 罪4 θ = 1 - $|0\rangle=\cos\theta|e_1\rangle+\sin\theta|e_2\rangle$$\cos^2\theta$$|e_1\rangle$$|0\rangle$$\cos^2\theta$$\sin^2\theta$$|e_2\rangle$$|0\rangle$$\sin^2\theta$| 0

$$\cos^4\theta+\sin^4\theta=1-\frac12\sin^2(2\theta),$$ $|0\rangle$。アリスが送信した場合、分析は同じになります。ただし、アリスが送信した場合は、分析を繰り返す必要があります。（この時点で、考えられるすべてのベースを平均したい場合は、および定義にフェーズパラメーターが必要であることが明らかになりますが、私はあなたの定義を続けます。）したがって、アリスが送信したと仮定します。したがって、Eveは確率回答を取得し、Bobは確率で回答を取得します| + ⟩ | E 1 ⟩ | E 2 ⟩ | + ⟩ = （（COS θ + 罪θ ）| E 1 ⟩ - （COS θ - 罪θ ）| E 2 ⟩ ）/ $|1\rangle$$|+\rangle$$|e_1\rangle$$|e_2\rangle$$|+\rangle=((\cos\theta+\sin\theta)|e_1\rangle-(\cos\theta-\sin\theta)|e_2\rangle)/\sqrt{2}$$|e_1\rangle$$(\cos\theta+\sin\theta)^2/2$$|+\rangle$$(\cos\theta+\sin\theta)^2/2$。したがって、全体として、イブが検出されない確率は したがって、Aliceのすべての可能な入力を平均すると、 この時点で、は消えています。考えられるすべてのを平均する必要はありません。ただし、定義にフェーズ正しく導入した場合は、 $$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^4+\left(\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^4=1-\frac12\cos^2(2\theta).$$ $$\frac12\left(1-\frac12\cos^2(2\theta)\right)+ \frac12\left(1-\frac12\sin^2(2\theta)\right)=\frac34.$$ $\theta$$\theta$$\phi$$|e_1\rangle$、いくつかの平均化を実行する必要があります。さらに、あなたが引用する解は、その平均化を正しく行いません。あなたが不可欠から変換したい場合ことを覚えておいてください中で積分に座標座標、あなたが変換を必要とします。のような積分を実行する必要があります ここでは、指定されたに対してEveを検出する確率です。（おそらく、この式を注意深く確認し、2の係数を確認する必要があります。これは、メモリからこれを書き込んだためです。角度使用した場合、少し面倒になります$(x,y)$$(r,\theta)$ $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)d\theta f(\theta,\phi),$$ $f(\theta,\phi)$$\theta,\phi$$\theta$の定義では、ブロッホ球の角度に変換されます。）$|e_1\rangle$$2\theta$

もう1つは、イブがどれだけ学習したかを計算していません。がビット値0 に対応し、がビット値1 に対応する場合、 これをで平均化することもできますが、興味深い点の1つは、使用されている2つの基底がEveにわかっている場合、値を最適化できることです。値は、または（事実上、最初の質問で分析したケースです）の設定に関する知識を（平均して）彼女に提供します。$|e_1\rangle$$|e_2\rangle$

$$\frac12\left(\cos^2\theta+\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$$ $\theta$$\theta$$\theta=\frac{\pi}{8}$$\theta=0$$\pi/4$