基本ゲートからマルチキュービット制御Zを構築する方法は？

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特定の量子アルゴリズムを実装するには、次の図に示すように、基本ゲートのセットからマルチキュービット（この場合は3キュービット）の制御されたZゲートを構築する必要があります。。

私が使える門は

パウリはおよびそれらのすべての力（つまり、位相係数までのすべてのパウリ回転）をゲートします。 $\rm X, Y, Z$
（約回転プロジェクター）、 ${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ $|11\rangle\langle11|$
（アダマール）、 $\rm H$
（シングルキュービット制御-XまたはCNOT）、 $\rm C_X$
（単一キュービット制御Z）、および $\rm C_Z$
（スワップ）。 $\rm S$

これらのゲートからこの3キュービット制御Zを構築するにはどうすればよいですか？回路分解に関するいくつかの論文を読みましたが、どれも明確で簡潔な答えをくれませんでした。

quantum-gate gate-synthesis

— ディオン・J・ドン・キウィ・ファン・ブルーミンゲン
ソース

4番目のレジスタに黒い円の代わりにZが必要ですか？

— user1271772

1

@ user1271772どちらも問題ありません。制御されたZゲートは、使用されるキュビットで対称であるため（つまり、2つのキュビットを入れ替えることができ、ゲートの効果は同じままです）、最近の文献では、黒いドットのような順序のない表記がより適切であると考えられています。

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen

5

（編集：14 CNOTに改善されました。）

これは、14のCNOTと15の単一キュービットZ回転で実行でき、補助キュービットは使用できません。

対応する回路は

ここで、 $\fbox{$\pm$}$ ゲートは回転

R_{z} (\pm π / 16) \propto (\begin{matrix} 1 \\ e^{\pm i π / 8} \end{matrix})

$R_z(\pm\pi/16)\propto \left(\begin{matrix}1\\&e^{\pm i\pi/8} \end{matrix}\right)$

導出：

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹で説明されている手順を使用すると、任意の対角ゲート-したがって、特にCCCZゲート-は、たとえばCNOTおよび1キュービット対角ゲートに関して分解できます。 CNOTは、従来の最適化手順に従って独自に最適化できます。

このリファレンスは、任意の対角4キュービットゲートに16個のCNOTを使用した回路を提供します（図4）。

これは、任意の量子ビットのペアを14量子ビットに結合できる場合に改善できます。周期的な（開いた）境界条件を持つ最近傍の場合、これは16（18）CNOTで実行できます。対応する回路は、https：//epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹、図5.2、5.4、および5.5にあり、たとえば、短いグレイシーケンスを構築する方法を使用して取得できます。

1キュービットゲートの数は常に15です。

$\bigoplus_{i\in I}x_i$ $I\subset\{1,2,3,4\}$

また、この構造は必ずしも最適である必要はありません。

^{1注：私は作者です}

— ノーベルト・シューチ
ソース

そして、Rzゲートの代わりにRx（またはRy）ゲートを使用すると、これはマルチキュービット制御X（または制御Y）ゲートになりますか？

— Sierox 2018年

@Sierox下のキュービットのすべてをアダマール変換する必要があります。つまり、対応するCNOTはCZになり、下のキュービットの回転はX回転になります。

— Norbert Schuch、2018年

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$n$ $U$ $U$ $Z$

— ユーザー1271772
ソース

2

それは潜在的に過度の深さを持つ回路を与えます。おそらく、OPはそのゲートセットを備えたより浅い回路を必要としています。自動手順を実行して、回路サイズを適度に小さくすることができます。

— AHusain

@AHusain：自動手順とは何ですか？

— user1271772

2

それは自動グループの理論からの結果を使用するので、それは駄洒落でした。説明はどこかに行くでしょう。短いコメントではありません。

— AHusain

わかりました@AHusain、私はあなたのためだけに用意された質問をします！

— user1271772 2018

5

29ゲートを使用するCCCZ構造は次のとおりです。

測定と従来のフィードフォワードの使用が許可されている場合、ゲート数を25に減らすことができます。

（アダマールゲートは、ゲートセットの制約を満たす必要がある場合は、Yの平方根に置き換えることができます。）

そして、Controlled-SゲートとControlled-sqrt（X）ゲートを実行し、X基底測定を実行することを許可すると、合計10ゲートまで取得できます。

— クレイグ・ギドニー
ソース

しかし、最後に測定+条件付き制御ゲートを使用しています。それはゲームの「通常の」ルールの範囲外です。（たとえば、これを制御ゲートに置き換えて測定を延期する場合でも、Toffoliを使用します。）

— Norbert Schuch

1

@NorbertSchuchそのため、2番目の図の前に「測定と従来のフィードフォワードを使用できる場合」を付けています。最初の図ではそれらを使用していないことに注意してください。

— Craig Gidney、2018

UPS。ごめんなさい。Mea culpa。私は写真を見ただけで、少しスクロールすべきではありませんでした：-|

— Norbert Schuch、2018

最初の回路の最後で、5番目の量子ビットは破棄されます。複数のCCCZを連続して必要とする場合、そのキュービットをどのように扱う必要がありますか？

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen

それを次のCCCZにフィードしますが、最初の2つの操作を2番目のCCCZの回路にドロップします。これらの操作は、T状態にそれを準備しています。これは、破棄されたキュービットの最終状態です。したがって、2番目のCCCZの操作は2つ少なくなります。

— クレイグギ

4

CCCZをコンパイルしようとしている他の人にとって有用な場合に備えて、ここにCCCZの別の分解を掲載しています。必要な総ゲート数は少なく、2量子ビットではなく1補助量子ビットのみが必要ですが、2量子ビットゲートは「明白な」回答よりも5多いため、ハードウェアでの実装には実際より悪い場合があります。

これは、このコメントでユーザー@Robによって提案されました：量子回路の自動コンパイル、およびこのペーパーからの引用。

$(\chi)$

$n=5$ $\chi_{ij}=\chi$

— ユーザー1271772
ソース

1

χ_{i j}

$\chi_{ij}$

@NorbertSchuch：質問はログではなくCCCZ（CCCZ）を求めます。log（CCCZ）を実行する場合、おそらくGMS5は基本ゲートの指数であり、その対数は実装が簡単なため、log（CCCZ）の出力からCCCZの出力を取得するのは簡単です。 CCCZ）？

— user1271772

私はあなたが何を話しているのか分かりません。製品の合計またはPaulisの実装は容易ではありません。彼らは一体でもありません。---しかし、ユニタリの対数はハミルトニアンであるため、いくつかのスマートな実験設定を介してlog（CCCZ）で時間発展できる場合、このカウントでは「1つのゲート」を持つCCCZが得られます。

— Norbert Schuch、2018

2

@NorbertSchuch：コメント「exp（-iHt）はほとんど断熱的ではない」は意味的にnullであり、意味がありません。なぜ「CCCZゲートの対数をとらないのですか？」？

— user1271772 2018

1

@ user1271772は、Norbertがコメントで言っていること（私は信じている）に追加するだけです：非自明なゲートを生成する時間に依存しないハミルトニアン（CCXと他のものは論文で検討されています）を見つけようとする問題は、arxiv.org /で研究されていますabs / 1803.07119。この設定の問題は、実行可能な相互作用のみを含み、ターゲットゲートを生成するハミルトニアンを見つけることです。したがって、リソースは、基本ゲートが許可されるのではなく、ハミルトニアン相互作用が許可されるものになります

— glS '28

4

$T$ $Z^{1/4}$

$T$ $|1\rangle$ $HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$ $XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$ $-iHT^4H=-iX$ $Z^{1/4}$ $XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$

また、2つのToffoliゲートは0状態を対象としているため、Toffoliのみであることに注意してください。通常、追加の2キュービットゲートが必要になります。

既存の文献では効率的な構成は見つかりませんでしたが、このペーパーでは11個の2キュービットゲートのみを使用した構成を主張していますが、質問の制限付きゲートセットに変換した後、完全なゲートカウントを実行していません。

— DaftWullie
ソース

あなたはsthの計算を外していないように感じています。サーキットの下半分に-しかし、私はそれについてそれほど深くは考えていませんでした;）

— Norbert Schuch '25

私は、関係のない単一のキュービット回転を除いて、補助装置の計算をしませんでした。それが最後のトッフォリがすることです。最後の1つのゲートが欠落しているため、Toffoliは逆コンマである必要があると思います。

— DaftWullie

最初のブロックがToffoliであると確信していますか？それとも、付属のToffoliだけですか？（私がToffoliのためにできる最高のことは約8 CNOTsだったことを覚えています）。

— Norbert Schuch、2018

真ん中のブロックの上の2つのキュービットでCS位相補正が不足していると思います。各サイドブロックから左端のCZをドロップできるはずです。

— クレイグギ

火曜日はよく調べます。この定式化はcSを回避すると思いました。

— DaftWullie

2

私の他の答えは最も明白な「教科書」の方法です（Nielsen＆ChaungのCCCCへのCCCZ分解を使用してから、CCNOTをコンパイルするための別の教科書分解を使用します）。

ステップ1：

Nielsen＆Chuangの回路のすべてのCNOTを次のガジェットに置き換えます。

ステップ2：

これで、CCNOTの代わりに多数のCCZができました。CCZは次のように分解できます（このペーパーの礼儀）：

ステップ3：

$H^2 = I$

— ユーザー1271772
ソース

ゲート数はいくつですか？

— Norbert Schuch、2018