量子ゲートの変換後、各状態の確率はどのように変化しますか？

量子ゲートは、キュービット（状態）に適用される変換を表す行列で表されます。

量子ビットで動作する量子ゲートがあるとします。$2$

量子ゲートは、量子ビットの状態の測定結果にどのように影響しますか（必ずしも変更する必要はありません）（測定結果は可能性のある各状態の確率に大きく影響されるため）？より具体的には、量子ゲートによって各状態の確率がどのように変化するかを事前に知ることは可能ですか？

ケースI：2つのキュービットは絡まりません。

2つのキュービット（たとえばとB）の状態を|と書くことができます。ψ A ⟩ = | 0 ⟩ + B | 1 ⟩と| ψ B ⟩ = C | 0 ⟩ + D | 1 ⟩ここで、B 、C 、D ∈ C。$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$$a,b,c,d\in\Bbb{C}$

個々のキュービットは、2次元の複素ベクトル空間（Cフィールド上）に存在します。しかし、システムの状態は、4次元の複素ベクトル空間C 4（Cフィールド上）にあるベクトル（または点）です。$\Bbb{C}^2$$\Bbb{C}$$\Bbb{C}^4$$\Bbb {C}$

システムの状態はテンソル積として書くことができますすなわち、A 、C | 00 ⟩ + D | 01 ⟩ + B 、C | 10 ⟩ + B D | 11 ⟩。$|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$

当然のことながら、状態ベクトルを正規化する必要があるため、2 = 1。基底状態の振幅の二乗が、対応する基底で測定されたときに基底状態が発生する確率を与える理由は、ボルンの量子力学のルールにあります（一部の物理学者は、それを量子力学の基本的な仮定と考えています） 。さて、確率| 0 ⟩最初の量子ビットが測定さoccuringであります$|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$$|0\rangle$。同様に、 |の確率 1 ⟩最初の量子ビットがある測定されoccuring | b c | 2 + | b d | 2。$|ac|^2+|ad|^2$$|1\rangle$$|bc|^2+|bd|^2$

さて、システムの以前の状態で測定を行わずに量子ゲートを適用するとどうなりますか？量子ゲートは単一ゲートです。彼らの行動は、単一のオペレータのアクションとして記述することができすなわちシステムの初期状態でA C | 00 ⟩ + D | 01 ⟩ + B 、C | 10 ⟩ + B D | 11 ⟩新しい状態を生成するためにAを| 00 ⟩ + B | 01 ⟩ + C | 10 $U$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$（ A 、B 、C 、D ∈ C）。この新しい状態ベクトルの大きさ： | A | 2 + | B | 2 + | C | 2 + | D | 適用されたゲートが単一であったため、 2は再び 1に等しくなります。最初のキュービットが測定されるとき、確率 | 0 ⟩発生しています | A | 2$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$$A,B,C,D\in\Bbb{C}$$|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$$1$$|0\rangle$および同様に、 |の出現についてそれを見つけることができます。1 ⟩。$|A|^2+|B|^2$$|1\rangle$

しかし、測定を実行した場合、ユニタリゲートのアクションの前に結果は異なります。たとえば、最初のキュービットを測定したところ、次のようになりましたシステムの中間状態がいるだろう状態崩壊にC | 00 ⟩ + D | 01 $|0\rangle$（コペンハーゲンの解釈による）。したがって、この状態に同じ量子ゲートを適用すると、異なる最終結果が得られることを理解できます。$\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$

ケースII：2つのキュービットが絡み合っています。

システムの状態が1のような場合、あなたは（してみてください！）2つの個々の量子ビットの状態のテンソル積としてそれを表現することはできません。そのような例は他にもたくさんあります。量子ビットは、このような場合に絡まると言われています。$\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

とにかく、基本的なロジックは同じままです。の確率最初の量子ビットがある測定されoccuring | 1 / $|0\rangle$および| 1⟩occuringである$|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$$|1\rangle$も。同様に、2番目のキュービットの測定の確率を見つけることができます。$\frac{1}{2}$

再び、この状態に単一量子ゲートを適用すると、ようなものになります。00 ⟩ + B | 01 ⟩ + C | 10 ⟩ + D | 11 ⟩、前と同じように。最初のキュービットと2番目のキュービットを測定したときに、さまざまな可能性の確率を自分で見つけられるようになったと思います。$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$

注：通常、2キュービットシステムの基底状態 4つの考えられている4 × 1のような列ベクトル[ 1 0 0 0 ]、[ 0 1 0 0 ]の標準基準に4つの基底ベクトルをマッピングすることによって等、R 4。そして、ユニタリ変換Uは4 × 4と書くことができます$|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$$4\times 1$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\Bbb{R}^4$$U$$4\times 4$ matrices which satisfy the property $UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$.

Yes, it is possible. The quantum gates are designed such that given input states are transformed to well defined output states with computable probabilities. The transformation does not constitute a measurement in the sense of quantum mechanics, this means that we can have entangled states in the output of a quantum gate and use these states for further computation.

Note also that the input states are no longer accessible after being transformed by a quantum gate. If you want to get them back, you have to apply an inverse gate.

量子ゲートは、量子ビットの状態の測定結果にどのように影響しますか（必ずしも変更する必要はありません）（測定結果は可能性のある各状態の確率に大きく影響されるため）？より具体的には、量子ゲートによって各状態の確率がどのように変化するかを事前に知ることは可能ですか？

例といくつかのジオメトリを使用して、これにアプローチしてみましょう。ヒルベルト空間が$\mathbb{C}^2$、すなわち、上の2次元複素ヒルベルト空間 $\mathbb{C}$ （より技術的な人々にとって、ヒルベルト空間は実際には $\mathbb{C}P^1$）。それが判明した$\mathbb{C}P^1 \cong S^2$, the unit sphere, also known as the Bloch sphere. This translates into the fact that all states of a qubit can be represented (uniquely) on the Bloch sphere.

Source: Wikipedia

The state of a qubit can be represented on the Bloch sphere as ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle}$, where $0 \leq \theta \leq \pi$ and $0 \leq \phi < 2 \pi$. Here, $|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ and $|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ are the two basis states (represented in the figure at the north and south pole respectively). So the states of the qubit are nothing but column vectors, which are identified with (unique) points on the sphere.

What are quantum gates? These are unitary operators, $U$ s.t., $U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$. Gates on a single qubit are elements of $SU(2)$. Consider a simple gate like $Y$ (which stands for the Pauli matrix $\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$).

How does this gate act on a qubit and affect the measurement outcomes?

Say you begin with a qubit in the state $|0\rangle$, i.e., at the north pole on the Bloch sphere. You apply a unitary of the form $U = e^{-i \gamma Y}$ where $\gamma \in \mathbb{R}$. Using properties of the Pauli matrix, we get $U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$. The action of this operator is to rotate the state by an angle $2 \gamma$ along the y-axis and therefore if we choose $\gamma = \pi/2$, the qubit $|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$. That is to say, given we know what unitary we are applying to our state, we completely know the way in which our initial state will transform and hence we know how the measurement probabilities would change.

For example, if we were to make a measurement in the $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ basis, initially, one would get the state $|0\rangle$ with probability 1; after applying the unitary, one would get the state $|1\rangle$ with probability 1.

As you said, the probabilities of measurements are obtained from the state. And the gates operate unitarily on the states. Consider the POVM element $\Pi$, a state $\rho$ and a gate $U$. Then the probability for the outcome associated with $\Pi$ is $p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$, and the probability after the gate is $p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$.

I just want to stress that it is impossible to know the probability of the outcome after the gate only from the probability of it before the gate. You need to consider the probability amplitudes (the quantum states)!

Let me make another remark: You are talking about two qubits, so the state after the gate might be entangled. In this case it will not be possible to have "individual" probability distributions for each qubit for all measurements in the sense that the joint probability distribution will not factor into the two marginal distributions.