Toffoliゲートのみを使用したCCCNOTゲートの実装

CCCNOTゲートは4ビットのリバーシブルゲートで、最初の3ビットがすべて状態場合にのみ、4番目のビットを反転し$1$ます。

Toffoliゲートを使用してCCCNOTゲートを実装するにはどうすればよいですか？ワークスペースのビットは、特定の値（0または1）で始まると想定します。

あなたが探しているのは次の回路だと思います。ここで、$b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{0,1\}$、および$\oplus$加算モジュロである$2$。

ここでは、5番目の量子ビットは、補助量子ビットまたは補助量子ビットとして使用されます。$|0\rangle$で始まる 0 ⟩とで両端$|0\rangle$回路が適用されます。

この回路のしくみについて詳しく説明します。アイデアは、まず最初の2つのキュービットが状態にあるかどうかを確認することです$|1\rangle$。これは、単一のToffoliゲートを使用して行うことができ、結果は補助キュービットに格納されます。さて、問題は、量子ビット3と補助量子ビットが存在するときはいつでも、量子ビット$4$反転に減少します。1 ⟩。これは、Toffoliゲートの1つのアプリケーション、つまり上に示した回路の中央のアプリケーションを使用しても実現できます。最後に、最後のToffoliゲートは、このキュービットの状態が|に戻るように、補助キュービットに保存した一時的な結果を計算解除する働きをします。0 ⟩$3$$|1\rangle$$|0\rangle$ 回路が適用された後。

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コメントセクションでは、補助キュービットを使用せずに、Toffoliゲートのみを使用してこのような回路を実装することが可能かどうかという疑問が生じました。ここで説明するように、この質問は否定的に答えることができます。

4つのキュービットに作用する$\mathrm{CCCNOT}$ゲートを実装したいと考えています。次の行列（Pauli- $X$ゲートの 行列表現）を定義できます

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ さらに、$N$次元の単位行列を$I_N$表します。ここで、4つのキュビットに作用する$\mathrm{CCCNOT}$ゲートの行列表現が、次の$16 \times 16$行列によって与えられることがわかります $$\mathrm{CCCNOT} = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix}$$ したがって、その行列式を決定できます $$\det(\mathrm{CCCNOT}) = -1$$ ここで、$4$最初の3つのキュービットに作用するToffoliゲートの行列表現を考えます。-qubitシステム。（我々は行列のクロネッカー積を使用する場合）の行列表現は次のように書かれている： $$\mathrm{Toffoli} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_6 & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 \\ 0 & X \otimes I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ の行列式の収率の計算： $$\det(\mathrm{Toffoli} \otimes I_2) = 1$$ Toffoliゲートは、もちろん異なるキュービットにも作用します。Toffoliゲートを1番目、2番目、4番目のキュビットに作用させると仮定します。4番目のキュビットはターゲットキュビットです。次に、3番目と4番目のキュービットのみが異なる状態に対応する列を交換することにより、上に表示されたものから新しい行列表現を取得します$|0001\rangle$と$|0010\rangle$、$|0101\rangle$と$|0110\rangle$、などここで注意すべき重要なことは、列のスワップの数が偶数、ひいては決定は変わらないということであるということです。キュービットのすべての順列を、$2$（れるキュビット$S_4$における転位によって生成される$S_4$）、我々はすべてのトホリゲートのために、制御およびターゲットキュービットの任意の組み合わせに適用されることが判明して、その行列表現は、行列式持つ$1$。

最後に注意すべきことは、行列乗算と互換性のある任意の2つの行列AおよびBについて、行列式が行列乗算と交換すること、つまり$\det(AB) = \det(A)\det(B)$です。したがって、複数のToffoliゲートを順番に適用すると、行列表現が1とは異なる行列式をもつ回路が作成されないことが明らかになりました。これは、特に、4の Toffoliゲートのみを使用してC C C N O Tゲートを実装できないことを意味します。キュビット。$A$$B$$1$$\mathrm{CCCNOT}$$4$

ここで明らかな問題は、補助キュービットを許可すると何が変わるかです。我々はのアクション書き出すとき私たちは答えを見つける$\mathrm{CCCNOT}$上-ゲート$5$：-qubitシステム

$$\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ この行列式を計算すると、次のことがわかります。 $$\det(\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2) = 1$$ 従って、の行列$\mathrm{CCCNOT}$に作用-ゲート$5$量子ビットは、$1$の代わりに、$-1$。これは、OPが要求する明示的に構成された回路のために、すでにわかっているように、前の引数が$5$キュービットに対して有効でない理由です。