トフォリ門とポペスク・ローリッヒの箱との関係は何ですか？

バックグラウンド

Toffoliゲートは、3入力3出力の古典的な論理ゲートです。これは、送信に。可逆（古典的）計算に普遍的であるという点で重要です。 $(x, y, a)$ $(x, y, a \oplus (x \cdot y))$

Popescu-Rohrlichボックスは、非シグナル相関の最も単純な例です。これは、入力の対をとるを出力するを満足ように及び両方一様確率変数です。特定のクラス（すべてではありません）の非シグナリング相関については一般的です。 $(x, y)$ $(a, b)$ $x \cdot y = a \oplus b$ $a$ $b$

私の目には、これら2つのオブジェクトが、我々はそれを出力することによってPRボックスを増やす場合は特に、非常に似ています。この2入力、4出力のPRボックスは、3入力、3出力のToffoliゲート「である」が、3番目の入力がランダム出力に置き換えられている。しかし、それらに関連する参照を見つけることができませんでした。 $(x, y, a, b) = (x, y, a, a \oplus (x \cdot y))$

質問

トフォリ門とポペスク・ローリッヒの箱との関係は何ですか？可逆的な古典的な回路と（あるクラスの）相互にマッピングする非シグナリング相関との対応のようなものはありますか？

観察

非シグナリング相関を指定するには、機能だけでなく、それを制御する当事者への各入力および出力の割り当ても必要です。Aliceが両方の入力を入力し、Bobが両方の出力を読み取ることができる場合、PRボックスは非シグナリングではなくなります。または、「拡張された」PRボックスで、Aliceが入力した場合、彼女はのコピーを読み取る必要もあります。そのため、一般的な回路（一部の入力はランダム出力に置き換えられる可能性があります）で、通信が不可能になるように入力と出力をパーティに割り当てることができるすべての方法を決定するのは簡単ではないようです。 $x$ $x$
上記の手順は、不可逆的な論理ゲートを含め、あらゆる論理ゲートに適用できます。例えば、我々が取ることができ、かつランダム出力での入力のうちの1つを交換し、機能1の入力取得とのペア一様確率変数です。ただし、さが条件の入力がアリス、場合、これは非シグナリングすることができる唯一の方法であるので、、受信 $x$ $(a, x \cdot a)$ $a$ $x \cdot a$ $0$ $x = 0$ $x$ $x \cdot a$ 。ただし、この手順は、ランダム性の共有ソースを使用して、すでに古典的に再現できます。したがって、不可逆的なゲートを含めても、構築できる非シグナリング相関のクラスは拡大しないと予想されます。

quantum-information non-locality

— エヴァン・ジェンキンス
ソース

ToffoliゲートとPRボックスを関連付ける自然な方法は、2つのバイナリ入力のAND関数の表現として、それらを両方とも異なる方法で見ることです。AND関数との関係は明白であり、質問によって明確に認められていますが、私はそれをわずかに異なる方法で表現します。

$f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $|x,a\rangle \mapsto |x,a\oplus f(x)\rangle$
$(x,y)$ $(\text{AND}(x,y)\oplus a, a)$ $(a,\text{AND}(x,y)\oplus a)$ $a\in\{0,1\}$ 一様に生成されたランダムビットです。したがって、PRボックスの出力は、入力のANDがそれぞれ0であるか1であるかに応じて、完全に相関するか、完全に反相関するランダムビットのペアになります。これは、アリスとボブがAND関数の出力（出力ビットのXORを計算することで取得できる）をまとめて知っているのに対し、個別にこの値に関する情報がないため、興味深いものです。

PRボックスがこの分散方法でAND関数を効果的に計算するという考え方は、PRボックスが存在すると通信の複雑さが自明になるというWim van Damの証明の重要な考え方です。

ウィム・ヴァン・ダム。非常に強い非局所性の信じがたい結果。 Natural Computing 12（1）：2013年9月12日。

— ジョン・ワトラウス
ソース