断熱量子計算は、Groverのアルゴリズムよりも高速ですか？

断熱量子コンピューティングは、「標準」またはゲートモデルの量子コンピューティングと同等であることが証明されています。ただし、断熱コンピューティングは、問題に何らかの形で関連する関数を最小化（または最大化）することを目的とする最適化問題の見込みを示しています。つまり、この関数を最小化（または最大化）問題。

今、Groverのアルゴリズムは本質的に同じことを行うことができるようです：ソリューションスペースを検索することで、オラクル基準を満たすこのソリューションでは最適条件に等しい1つのソリューション（おそらく多くのソリューションの中から）を見つけます時間、ここでは解空間のサイズです。 $O(\sqrt N)$ $N$

このアルゴリズムは最適であることが示されています：Bennett et al。（1997）それを置いて、「クラスは、時間量子チューリングマシンで解くことができません」。私の理解では、この手段よりも速くスペースを検索して解決策を見つけた任意の量子アルゴリズム構築する方法はありません、どこ問題の大きさに比例します。 $\rm NP$ $o(2^{n/2})$ $O(\sqrt N)$ $N$

私の質問は次のとおりです。断熱量子コンピューティングは、最適化問題に関してはしばしば優れていると言われていますが、実際にはよりも高速ですか？はいの場合、断熱アルゴリズムは量子回路でシミュレートできるため、これはグローバーのアルゴリズムの最適性と矛盾するようです。そうでない場合、断熱アルゴリズムを開発するポイントは何ですか、もしそれらが回路で体系的に構築できるものよりも速くならないのであれば？または、私の理解に何か問題がありますか？ $O(\sqrt N)$

grovers-algorithm adiabatic-model

— ディオン・Jドン・キウイ・ヴァン・ヴロイミンゲン
ソース

回答:

良い質問。非構造化検索の場合、Roland and Cerfによるこの重要な論文で証明されているように、断熱量子計算は実際に標準のゲートベースのGroverアルゴリズムとまったく同じ高速化を提供します。これは、あなたが言及した断熱量子計算とゲートベースの量子計算の等価性と一致しています。 $\sqrt{N}$

（あなたの質問に対する1つの小さな修正：あなたは、oracle-search問題のセットアップで、oracleが答えることができるyes / no質問として検索クエリを組み立てる必要があることを修正します。しかし、質問は実際には取られませんであることを、「ない極値関数使用すると、提案されているように、？」。その代わり、それのは「等しく未満またはを参照してくださいスライド9と10？」ここで。それだから、後者は、Oracle質問は物理セットアップのより現実的なモデルと見なされ、与えられたに対してを直接計算または測定できると考えられますが、） $x$ $f(x)$ $f(x)$ $M$ $f(x)$ $x$ $f(x) - f_\text{min}$

それでも、断熱QCには2つの潜在的な利点がありますが、どちらも理論的に研究するのは困難です。最初の方法は実用的です。実際に大規模なコヒーレント量子回路を構築することは、単にそれらをジャーナルの記事に描くよりもはるかに困難です。断熱QCには従来のセットアップに比べて基本的な利点はありませんが、実験的に実装する方がはるかに簡単です。

第二に、標準的なグローバーのアルゴリズムと同様に、AQCにも同じ大きな警告が適用されます。これは、非類似検索または「ブラックボックス」検索にのみ適用されます。関連」クエリ。私たちが関心を持っている実際の検索問題には、定義上何らかの構造がありますが、この構造は分析するには複雑すぎるかもしれません。たとえば、関数がエネルギーのランドスケープとして極値化されると考える場合、システムは「遠い」ものの間よりも「近くの」局所的な最小値の間をより簡単にトンネリングできると考えられます。

したがって、実際の実験で断熱ベースとゲートベースのセットアップの相対的な利点を実際に厳密に比較するには、「相対化の障壁を克服」し、極限しようとしている特定の関数の構造を考慮する必要があります。通常は本当に難しいです。これにより、現実の世界における2つのアプローチの相対的な利点について一般的な結論を引き出すことは非常に困難になります。また、理論的に無条件の複雑さの分離を証明することが非常に難しい理由でもあります。私たちが知っている限り、実世界ではオラクルの問題ではなく、量子コンピューターは指数関数的な高速化を可能にする可能性があります-NP完全問題の場合でさえ、NP BQPを意味する可能性がありますが、これは非常に考えにくいと考えられます。 $\subset$

— パーカー
ソース

素晴らしい回答、ありがとう！もう1つ、「相対化の障壁を克服する」とはどういう意味ですか？

— ディオンJドンキウイヴァンヴルミンゲン

@DonKiwiこれは、CSの専門用語の奇妙なビットです。多くの場合、クレームの証拠を見つけることができませんが、どのような証拠がクレームを証明するために機能するか、または機能しないかについてのメタ結果を証明することができます。「バリア」とは、いくつかの広範なクラスの証明が主張を証明するほど強力ではないという結果を指します。たとえば、構造化された問題の特定の検索アルゴリズムがよりも高速であるという証明は、特定の問題の構造の詳細を活用する必要があります。グローバーのアルゴリズムより高速である

\sqrt{N}

$\sqrt{N}$

— tparker

非構造化検索に最適であることが証明されています。それは、証拠が「相対化障壁を克服する」必要があることを意味するものです。同様に、に関連するオラクルが存在するため、が相対化できないことを証明します（できません）オラクルを使用してください）。驚くべきことに、いくつかの証明は相対化する。たとえば、時間階層定理の証明。これは、すべてのオラクルについてでなく、を意味します。

O

$O$

P^{O} = {N P}^{O}

$\mathbf{P}^O = \mathbf{NP}^O$

P \neq N P

$\mathbf{P}\neq \mathbf{NP}$

P \neq E X P T I M E

$\mathbf{P} \neq \mathbf{EXPTIME}$

P^{O} \neq {E X P T I M E}^{O}

$\mathbf{P}^O \neq \mathbf{EXPTIME}^O$

O

$O$

— tparker

ああ、これは今理にかなっています。この分野での進展を見ることに本当に興味があります。

— ディオンJドンキウイヴァンヴルミンゲン

断熱的量子計算は、計算の複雑さの観点から、回路ベースの量子計算よりも高速に実行できません。これは、回路ベースの量子計算が断熱量子計算を効率的にシミュレートできるという数学的な証拠があるためです（このペーパーのセクション5を参照）。

本当によりも高速ですか？ $\mathcal{O}(\sqrt{N})$

答えはいいえだ。これは、AQCがたとえばで実行できる場合、回路ベースのQCもアルゴリズムによってで実行できるためです。上でリンクした論文のセクション5で。これは、非構造化検索のの最適性に違反します。 $\mathcal{O}(\log{N})$ $\mathcal{O}(\log{N})$ $\mathcal{O}(\sqrt{N})$

— user1271772
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downvoteは...どこから来たのだろうか

— user1271772