2キュービット状態がもつれ状態であることをどのように示しますか？

ベル州$|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$エンタングル状態です。しかし、なぜそうなのでしょうか？どうすれば数学的に証明できますか？

定義

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2キュービット状態$|\psi\rangle \in \mathbb{C}^4$場合エンタングル状態であり、そこ場合のみではない 2つの1量子ビットの状態を存在$|a\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \in \mathbb{C}^2$および$|b\rangle = \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \in \mathbb{C}^2$ように$|a\rangle \otimes |b\rangle = |\psi\rangle$、ここで$\otimes$示しテンソル積をと$\alpha, \beta, \gamma, \lambda \in \mathbb{C}$。

だから、ベルの状態を示すために$|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$、我々は単に何の2つの1量子ビットの状態が存在しないことを示すために、エンタングル状態持っています$|a\rangle$と$|b\rangle$ように$|\Phi^{+}\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle$。

証明

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仮定

$$\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= |a\rangle \otimes |b\rangle \\ &= \left( \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \right) \otimes \left( \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \right) \end{align}$$

分配プロパティを単純に適用して取得することができます

$$\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= \cdots \\ &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

これは1に等しくなければなりませんで、我々は、係数を見つける必要があり、α、β、γ及びλ、そのようにします$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

式の中で、以下のことを守って、我々は両方を維持したいです| 00 ⟩と| 11 ⟩。したがって、αおよびγは、|の係数です。00 ⟩、ゼロにすることはできません。つまり、α ≠ 0およびγ ≠ 0でなければなりません。同様に、$\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$$|00\rangle$$|11\rangle$$\alpha$$\gamma$$|00\rangle$$\alpha \neq 0$$\gamma \neq 0$と λは複素数で、 | 11 ⟩ゼロ、すなわちすることはできません β ≠ 0と λ ≠ 0。したがって、すべての複素数 α、 β、 γおよび λはゼロとは異なる必要があります。$\beta$$\lambda$$|11\rangle$$\beta \neq 0$$\lambda \neq 0$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

しかし、ベルの状態を取得するには、私たちは取り除きたい| 01 ⟩と| 10 ⟩。そのため、数値の1つ（または両方）を乗算| 01 ⟩（および| 10 ⟩表現で）αのγ | 00 ⟩ + α λ | 01 ⟩ + β γ | 10 ⟩ + β λ | 11 ⟩、すなわちαおよび$|\Phi^{+}\rangle$$|01\rangle$$|10\rangle$$|01\rangle$$|10\rangle$$\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$$\alpha$$\lambda$（および、それぞれ、及びγ）、ゼロに等しくなければなりません。しかし、α、β、γ、$\beta$$\gamma$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$はすべてゼロとは異なる必要があることが。だから、私たちは、複雑な数字の組み合わせを見つけることができない 、β、γおよびλように$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

つまり、表現することができません2つの1キュービット状態のテンソル積としてのΦ + ⟩。したがって、| Φ + ⟩はもつれた状態です。$|\Phi^{+}\rangle$$|\Phi^{+}\rangle$

他のベルの状態、または一般に、状態がもつれていることを証明したい場合、同様の証明を実行できます。

2キューディットの純粋な状態は、次の形式で記述できる場合にのみ分離可能です

$$|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$$ 任意の単一qudit状態について$|\psi\rangle$と$|\phi\rangle$。それ以外の場合は、絡まります。

純粋な状態が絡み合っているかどうかを判断するには、満足のいく状態を見つけようとする総当たりの方法を試すことができます$|\psi\rangle$と$|\phi\rangle$のように、この答え。これはエレガントではなく、一般的なケースでは大変な作業です。この純粋な状態が絡み合っているかどうかを証明するより簡単な方法は、クディットの1つに対して密度行列$\rho$を計算することです。$\rho$がランク1の場合にのみ、状態は分離可能です。それ以外の場合は、もつれます。数学的には、あなたは、単に評価してランク条件をテストすることができます$\text{Tr}(\rho^2)$。この値が1の場合にのみ、元の状態は分離可能です。それ以外の場合、状態はもつれます。

たとえば、純粋に分離可能な状態があると想像してください$|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$。上で還元密度行列$A$である

$$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=|\psi\rangle\langle\psi|,$$ および $$\text{Tr}(\rho_A^2)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|\cdot |\psi\rangle\langle\psi|)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|)=1.$$ したがって、我々は分離可能な状態を持っています。

一方、我々が取る場合$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$、次いで

$$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=\frac12\left(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|\right)=\frac12\mathbb{I}$$ 及び $$\text{Tr}(\rho_A^2)=\frac14\text{Tr}(\mathbb{I}\cdot\mathbb{I})=\frac12$$ この値は1ではないため、絡み合った状態になります。

混合状態（純粋な状態ではない）でのエンタングルメントの検出について知りたい場合、これはそれほど単純ではありませんが、2つのキュービットには分離可能性に必要かつ十分な条件があります。