古典的情報を量子状態のノルムに埋め込む

量子機械学習入門（Schuld、Sinayskiy＆Petruccione、2014）によると、セスロイド他彼らの論文で言う：教師付きおよび教師なし機械学習のための量子アルゴリズムは、古典的な情報を量子状態のノルムにエンコードできる。私は彼らの表記を理解しているのかわかりません。 $\langle x|x \rangle = |\vec{x}|^{-1}\vec{x}$

簡単な例を見てみましょう。この配列を保存したいとしますで、サイズはで、量子ビットの量子システムの状態です。 $V = \{3,2,1,2,3,3,5,4\}$ $2^{3}$ $3$

キュービットシステムの状態を次のように表すことができます。 $3$

をベクトルとして表すことができます whereはで正規直交基底を形成し、その標準ユークリッドノルムをとして記述します。 $V$ $\vec{V} = 3 \hat{x}_1 + 2 \hat{x}_2 +... + 4 \hat{x}_8$ $\{\hat{x}_1,\hat{x}_2,...,\hat{x}_8\}$ $\Bbb R^{8}$ $|\vec{V}|=\sqrt{3^2+2^2+...+4^2}$

この後、係数取得する方法について混乱しています。を、をにというように割り当てますか？ $a_1,a_2,..,a_8$ $3$ $a_1$ $2$ $a_2$

しかし、再び：

成分を含むベクトル次元の複素ベクトルを考えます。が量子ランダムアクセスメモリに浮動小数点数として格納されていると仮定します。構築量子ビットの量子状態次にとるサブ限り、ステップを-ノルムはqRAMでも提供されます。この場合、ステップで任意の状態を構築できます。 $N=2^{n}$ $\vec{v}$ $\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$ $\{|v_i|,\phi_i\}$ $\log_2 N$ $|v\rangle = |\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$ $\mathcal{O}(\log_2 N)$ $\mathcal{O}(\log N)$

まず、私は彼らの次元の複素数ベクトルの概念を理解していません。古典的なデータ配列の各コンポーネントに2つの浮動小数点数がある場合、それをキュービットの量子状態にエンコードしないと、サイズの古典的な配列をキュービットシステムに格納することと同じになります。？はい、私はが大きさと方向の両方を持つ複素数であることを知っていしたがって、量の古典的な情報を格納できます。しかし、彼らはどこで古典的なデータを変換するかについては言及していません（たとえば、形式で $2^n$ $n$ $2\times 2^{n}$ $n$ $a_1,a_2,..,a_{2^n}$ $2\times 2^{n}$ $2\times 2^{n}$ 配列）をそのフォームに挿入します。さらに、複素数フェーズの範囲はからまでであるという制限があるようです。 $a_i$ $-\pi$ $+\pi$

次に、量子システムに格納したい最初のデータ配列が実際には。 $V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$

彼らは、定義した場合などをその後、この例では、のようなものになります。しかし、フェーズに関するすべての情報が失われていますね。それで、とにかくに変換するときにその情報が失われるときに、（位相と大きさの両方を持つ）複雑なベクトルで開始することの使用法は何でしたか？または、を $|v\rangle$ $|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$ $|V\rangle$ $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$ $\phi_i$ $|V\rangle$ $|V\rangle$ $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$ ？

キュービットシステムでの古典的なデータの格納に関するいくつかの具体的な例を使用して、どこが間違っているかを誰かが説明できれば、とても役に立ちます。 $n$

quantum-information quantum-state machine-learning

— サンチャヤンドゥッタ
ソース

シュルドら。論文は「量子機械学習」の時代のかなり早い時期に書かれたものであり、私は量子機械機械学習にまだ深く関心を持っていて、それを学ぶのにあまりにも多くの時間を費やしたことがありません。だから私は質問に答えようとはしませんが、私が貢献できることの1つは、複雑なフェーズがと間にあるという制限についての混乱に答えることです。からこの範囲は、存在する可能性のあるすべての可能な数学的フェーズをカバーするため、実際には「制限」ではありません。 toは-180〜180度を意味し、完全な円です。

- π

$-\pi$

π

$\pi$

- π

$-\pi$

π

$\pi$

- π

$-\pi$

π

$\pi$

— user1271772

からの範囲を超えるものは、370度と言うようなものです。これは、完全な円にさらに10度を加えたものです。したがって、370度は10度に相当し、同様にから範囲外の場合も同様です。

- π

$-\pi$

π

$\pi$

- π

$-\pi$

π

$\pi$

— user1271772

次元の複素数 ベクトルの概念が理解できません。古典的なデータ配列の各コンポーネントに2つの浮動小数点数がある場合、それをキュービットの量子状態にエンコードしないと、サイズの古典的な配列をキュービットシステムに格納することと同じになります。？ $2^n$ $n$ $2\times 2^{n}$ $n$

あなたは古典的な配列のnuberがn-キュービットシステムに格納されていることは絶対に正しいです。 $2\times 2^n$

しかし、ベクトルの次元がことは絶対に正しいことです。これは、ベクトルに行があり、各エントリに2つの古典的な数があるためです。 $2^n$ $2^n$

同じベクトルを配列に格納することもできます行は実数部で埋められ、行は虚数部で埋められますが、このベクトルはシュレディンガー方程式に従って進化しません。 $2\times 2^n$ $2^n$ $2^n$

これが質問のこの部分の解決に役立つことを願っています。

しかし、彼らは、古典的なデータ（たとえば、配列の形式）をその形式に変換する方法については言及していません。 $2\times 2^{n}$

あなたが正しいです。ピーター・ショーがファクタリングのための彼のキュービットがどのように準備されるかについてどこにも言及しなかったように。

これは実験者次第であり、実装に依存します。これは、NMRキュービットの場合、古典的データを超伝導キュービット、またはイオントラップキュービット、または量子ドットキュービットなどとは異なるキュービットに変換することを意味します。キュービットがどのように準備されるかを説明しないために、あなたは（ところですべての理論家である）あなたは言及しました。

量子システムに格納したい最初のデータ配列が実際に。彼らは、定義した場合などをその後、この例では、のようなものになります。しかし、フェーズに関するすべての情報が失われていますね。に変換するときにその情報が失われているときに、最初に複雑なベクトル（位相と大きさの両方を持つ）から始めるのはどのような目的でしたか $V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$ $|v\rangle$ $|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$ $|V\rangle$ $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$ $\phi_i$ $|V\rangle$ とにかく？

あなたはそれをあなたの質問の早い段階で持っていました！「ベクトル成分を含む複素数ベクトルを考えてください。 " したがって、ベクトルは次のとおりです。 $N=2^{n}$ $\vec{v}$ $\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$

| \vec{v} |^{- 1 / 2} (\begin{matrix} | v_{1} | e^{i ϕ_{1}} \\ | v_{2} | e^{i ϕ_{2}} \\ ⋮ \\ | v_{2^{n}} | e^{i ϕ_{2^{n}}} \end{matrix})

$\begin{equation} |\vec{v}|^{-1/2} \begin{pmatrix}|v_{1}|e^{i\phi_{1}}\\ |v_{2}|e^{i\phi_{2}}\\ \vdots\\ |v_{2^{n}}|e^{i\phi_{2^{n}}} \end{pmatrix} \end{equation}$

通知：
1）ではなく、エントリがあります 2）フェーズの周囲にノルムがないため、フェーズに関するすべての情報が失われています。 :) $2^n$ $2 \times 2^n$

または、をと見なすことを想定して書いてい？ $|V\rangle$ $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$

クローザー！正解は、上で書いたベクトルで、次のように書くことができます。

$|\vec{v}|^{-1/2}\left( e^{i \phi_1} |00 \cdots 00\rangle + e^{i \phi_2} |00 \cdots 01\rangle + \cdots + e^{i \phi_{N}} |1\cdots 1\rangle\right)$ 。

あなたの具体的な例について：

\frac{3 e^{i ϕ_{1}} | 000 ⟩ + 2 e^{i ϕ_{8}} | 001 ⟩ + \dots + 4 e^{i ϕ_{8}} | 111 ⟩}{\sqrt{77}}

$\begin{equation} \frac{3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_8}|001\rangle + \cdots + 4e^{i\phi_8}|111\rangle}{\sqrt{77}} \end{equation}$

これらすべての目的は、係数の2乗の合計が1になるようにすることです。これは、番号付け子が次のようになっているため、私の方程式ではtrueです。

\sqrt{3^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{77}

$\begin{equation} \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 5 ^2+ 4^2} = \sqrt{77} \end{equation}$

これで問題が解決することを願っています！

— ユーザー1271772
ソース

うーん、でもはないですか？どこであなたの表現では？

| V ⟩ = | \vec{V} |^{- 1 / 2} \vec{V}

$|V\rangle = |\vec{V}|^{-1/2}\vec{V}$

| \vec{V} |^{- 1 / 2}

$|\vec{V}|^{-1/2}$

— Sanchayan Dutta、

しかし。したがって、、違いますか？または、彼らは規範の異なる定義を使用していますか？

| \vec{V} | = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{77}

$|\vec{V}| = \begin{equation} \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 5 ^2+ 4^2} = \sqrt{77} \end{equation}$

| \vec{V} |^{- 1 / 2} = 77^{- 1 / 4}

$|\vec{V}|^{-1/2} = 77^{-1/4}$

— Sanchayan Dutta、

すべて修正されました。元のセスロイド紙にはタイプミスがあります。は正規化されていません。これは、ベクトルのノルムで除算する必要があります。ちなみに「正規化」と呼ばれています。

{v_{i} = | v_{i} | e^{i ϕ_{i}}}

$\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$

| \vec{v} |^{- 1 / 2} |

$|\vec{v}|^{-1/2}|$

— user1271772

のようなベクトルの場合、標準のノルムは

2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}

$2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$

\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 5^{2}}

$\sqrt{2^2+3^2+5^2}$

— Sanchayan Dutta

正解です、まだ問題はありますか？これは私が当初考えていたよりもタイプ入力に時間がかかったので、答えを受け入れていただければ幸いです。

— user1271772