Holevo情報の不平等の証明

古典-古典量子チャネル$W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$とします。ここで、$\mathcal{X},\mathcal{Y}$は有限集合であり、$\mathcal{D}(\mathcal{H})$は有限次元の複雑なヒルベルト空間$\mathcal{H}$上の密度行列の集合です。

仮定$p_x$上に均一な分布で$\mathcal{X}$と$p_y$上に均一な分布である$\mathcal{Y}$。さらに、X上の分布$p_1$とY上のp 2を定義すると、Holevo情報 χ （p 1、p 2、W ）：= H （∑ x 、y p 1（x ）p 2（y ）W （$\mathcal{X}$$p_2$$\mathcal{Y}$

$$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$$

ここで、$H$はフォンノイマンエントロピーです。

$$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$$ $$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$$

これまでのところ、そもそもその発言が真実であると私は確信していません。私はこれを証明するのに多くの進歩をしていませんが、ある種の三角形の不等式が主張を検証できるようです。

ステートメントを保持する必要があるかどうかに関する提案と、それを証明するためのヒントに感謝します。

この発言は一般的に真実ではないようです。仮定、単一の量子ビットに対応するヒルベルト空間であり、そしてのように定義される が一様分布である 場合、の最適な選択はおよびであり、これによりが最大になります可能な値。（を定義するつもりだと思います$X = Y = \{0,1\}$$\mathcal{H}$$W$pyp

$$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$$ $p_y$$p_1$$p_1(0) = 1$$p_1(1) = 0$$\chi(p_1,p_y,W) = 1$$p_1$また、は、これらの式のargmaxであり、上限ではありません。）同様に、が均一の場合、およびが最適であり、値は同じです。ただし、なので、不等式は成り立ちません。$p_2$$p_x$$p_2(0) = 1$$p_2(1) = 0$$\chi(p_1,p_2,W) = 0$