エニオンとは正確に何であり、トポロジカル量子コンピューティングにどのように関連していますか？

私は過去数日間、エニオンが何であるかについての基本的なアイデアを得ようとしています。しかし、トポロジカルな量子コンピューティングとエニオンを説明する限り、オンライン記事（Wikipediaを含む）は非常に曖昧で不可解なようです。

トポロジカル量子コンピューターのWikiページには次のように書かれています。

トポロジカル量子コンピュータと呼ばれる二次元準粒子採用理論的な量子コンピュータであるエニオン世界線の周りに互いを通過させる、編組形成三次元時空（すなわち、で時間1つのを加えた2つの空間次元を）。これらのブレード は、コンピューターを構成する論理ゲートを形成します。トラップされた量子粒子の使用に対する量子編組に基づく量子コンピューターの利点は、前者がはるかに安定していることです。小さい累積摂動は、量子状態のデコヒーレンスを引き起こし、計算にエラーを導入する可能性がありますが、そのような小さな摂動は、編組のトポロジ特性を変更しません。

これは面白そうだ。それで、この定義を見て、私はエニオンとは何かを調べようとしました：

物理学では、エニオンは2次元システムでのみ発生する準粒子の一種であり、その 性質はフェルミオンやボソンほど制限されていません。一般に、2つの同一の粒子を交換する操作は、グローバルな位相シフトを引き起こす可能性がありますが、観測可能量に影響を与えることはできません。

さて、私は持っているいくつかのものについてのアイデア準粒子であるが。たとえば、電子が半導体を通過するとき、その運動は他のすべての電子および原子核との相互作用によって複雑な方法で妨害されます。ただし、自由空間を乱されずに移動する異なる質量（有効質量）を持つ電子のようにほぼ動作します。質量の異なるこの「電子」は「電子準粒子」と呼ばれます。したがって、一般的に準粒子は、物質内で発生する可能性のある複雑な粒子または波動現象の近似値であると仮定する傾向があり、そうでなければ数学的に対処することは困難です。

しかし、その後、彼らが言っていることには従えませんでした。ボソンはボーズ・アインシュタイン統計に従う粒子であり、フェルミオンはフェルミ・ディラック統計に従う粒子であることは知っています。

質問：

• しかし、それらは「フェルミオンやボソンよりもずっと制限されていない」とはどういう意味ですか？「エニオン」は、ボソンやフェルミオンが従うものとは異なる種類の統計分布に従っていますか？

• 次の行では、2つの同一の粒子を交換すると、グローバルな位相シフトを引き起こす可能性がありますが、観測量に影響を与えることはできないと彼らは言います。この文脈でのグローバルな位相シフトとはどういう意味ですか？さらに、ここで実際に話しているのはどの 観測値ですか？

• これらの準粒子、つまり量子コンピューティングに実際に関連するエニオンはどのようになっていますか？「エニオンの世界線は、3次元（2空間と1空間）の三つ編み/結び目を形成します。これらの結び目は、デコヒーレンスの影響を受けにくい安定した物質の形成に役立ちます。」このTed-Edビデオは何らかのアイデアを与えてくれると思いますが、材料内の特定の閉じたパスを移動するための電子の制限（「エニオン」ではなく）に対処しているようです。

誰かがドットをつなぎ、直観的なレベルで「エニオン」の意味と重要性を理解するのを手伝ってくれるとうれしいです。最初は、本格的な数学的説明よりも、素人レベルの説明の方が役立つと思います。しかし、私は基本的な学部レベルの量子力学を知っているので、あなたはあなたの説明でそれを使うかもしれません。

最初に行うことは、トポロジー的に考えることです。コーヒーカップがドーナツとトポロジー的に同じである理由を理解してください。

ここで、2つの同一のパーティクルを交換し、再度実行することを想像してください。このトポロジカルな考え方を、パーティクルがたどるパスに適用します。これは何もしないのと同じです。

ここでは、この図を示します。1つの粒子が別の粒子の周りにドラッグされます。トポロジ的には、取得したパスを「何もしない」パスに戻すことができます。

この操作の平方根はスワップです：

1の平方根は+1または-1であるため、スワップは+1（ボソンの場合）または-1（フェルミオンの場合）を乗算することで状態に影響します。

エニオンを理解するために、同じ分析を行いますが、ディメンションは1つ少なくします。そのため、別のパーティクルに巻き付いているパーティクルは、「何もしない」操作とトポロジ的に同じではありません。

エニオンのパスを解くために余分な3番目の次元が必要です。これをトポロジ的に行うことはできないため、システムの状態はそのようなプロセスによって変更される可能性があります。

パーティクルを追加すると、物事はさらに面白くなります。3エニオンでは、撮影したパスが絡まことができ、または編組任意の方法で。これがどのように機能するかを確認するには、2つの空間次元と1つの時間次元の3つの次元を使用すると役立ちます。以下は、3人のエニオンが歩き回り、元の場所に戻った例です。

物理学者がエニオンについて考え始めるずっと前に、数学者はこれらの編組プロセスがどのように組み合わされて新しい組紐を形成するかまたは組紐を元に戻すかをすでに考えていました。これらは、1947年にエミールアルティンにまでさかのぼる仕事で「組紐グループ」として知られています。

上記のボソンとフェルミオンの区別のように、これらの編組操作を行うと、異なるエニオンシステムは異なる動作をします。フィボナッチエニオンとして知られるエニオンの一例は、これらの種類の組みひもを行うだけで、あらゆる量子演算を近似することができます。そして理論的には、これらを使用して量子コンピューターを構築できます。

私はこれらの写真をhttps://arxiv.org/abs/1610.05384から入手したエニオンに関する入門書を書きました。「モジュラーファンクター」として知られているエニオン理論の密接な従兄弟の記述と同様に、そこにはより多くの数学があります。

フィボナッチエニオンの良さを示す別の参考文献を次に示します。非アーベルエニオンを使用したトポロジカル量子計算の概要

編集：私は観測可能性について何も言わなかったことがわかります。システムのオブザーバブルは、地域内のエニオンの合計コンテンツを測定します。エニオンパスの観点から、これはある地域のすべてのエニオンをまとめて1つのエニオンに「融合」するものと考えることができます。フィボナッチエニオンをサポートするシステムの場合、このような測定の結果は、フィボナッチエニオンまたは真空の2つだけです。別の例は、4つのエニオン結果があるトーリックコードです。

あなたは正しい、それはウィキペディアのページが仕事を必要とするように見えるので、私はそれを更新しなければなりません。しかし、今のところ、5つの質問すべてに答えます。

1）「フェルミオンやボソンよりもはるかに制限が少ない」とはどういう意味ですか？

$|\psi_1\psi_2\rangle = \pm|\psi_2\psi_1\rangle$
$+$$-$

$|\psi_1\psi_2\rangle = e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle$
$\theta=0$$\theta=\pi$

2）「エニオン」は、ボソンやフェルミオンが従うものとは異なる種類の統計分布に従っていますか？

$\theta$$0$$\pi$

3） 2つの同一の粒子を交換すると、グローバルな位相シフトが発生する可能性がありますが、観測可能量に影響を与えることはできません。この文脈でのグローバルな位相シフトとはどういう意味ですか？

$e^{i\theta}$$-1$

ウィキペディアの記事が言っていたはずのことは、2つの同じ粒子を2回交換すると、まだグローバルな位相シフトが発生するということでした。これはボソンとフェルミオンには当てはまりません。ここで、最初と2番目の矢印は、パーティクル1と2を交換する最初と2番目の時間を示しています。

$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow |\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow |\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow -|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow -(-|\psi_1\psi_2\rangle)=|\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow e^{i\theta}(e^{i\theta})=e^{i2\theta}|\psi_1\psi_2\rangle$$e^{i2\theta}$

4）さらに、実際にここで話している観測値はどれですか？

$x$$x$$\langle \psi|\hat{x}|\psi\rangle$

$| \psi\rangle=e^{i\theta}|\phi\rangle$
$\langle \psi|=e^{-i\theta}\langle\phi|$
$\langle\psi|\hat{x}|\psi\rangle = \langle\phi|\hat{x}|\phi\rangle$

$|\phi\rangle$$|\psi\rangle$$e^{i\theta}$

5）これらの準粒子、つまり実際に量子コンピューティングに関連するエニオンはどうですか？

量子コンピューターを構築するための多くの提案があります。例えば：

• （i） NMR量子コンピューターは、フェルミオン（プロトンのスピンなど）を利用します。
  
• （ii）光子量子コンピューターはボソンを利用する（光子はボソンである）
  
• （iii）トポロジカル量子コンピューターは、エニオンを利用する提案されたタイプの量子コンピューターです。

（iii）の（i）に対する利点は、忠実度がはるかに高くなることです。（ii）に対する利点は、量子ビットを相互作用させるのが簡単であるべきだということです。（i）と（ii）の両方に対する欠点は、エニオンを含む実験が比較的新しいことです。NMRは1938年以来、レーザー（フォトニクス）は1960年以来存在していますが、エニオンの実験は1980年代に始まっており、スピンサイエンスやレーザーサイエンスの成熟にはまだ程遠いです。未来。

「本格的な数学的説明よりも、最初は素人レベルの説明の方が役立つと思います。」

$e^{i\theta}$

$e^{i\theta}$