量子テレポーテーション内で少数の古典ビットを使用する

最近、量子テレポーテーションを介して、ある当事者から別の当事者への合理的な古典ビット（たとえば1.5 cビット）の転送が行われる可能性があると聞きました。内標準プロトコルテレポーテーション、2古典的なビットと1つの最大限もつれ共有リソース状態が未知の状態の完全なテレポーテーションのために必要とされます。しかし、私はどのように理解していない$1.x$ビットは古典チャネルにオーバー送信することができます。

1. それは可能ですか？はいの場合、簡単な説明をお願いします。

2. 分数ビット（および場合によっては追加の量子リソース）を使用して完全なテレポーテーションが可能な論文をいくつか教えていただければ助かります。

一部の人々は、これが量子コンピューティングにどのように関連するのか疑問に思うかもしれません。D. GottesmanとIL Chuang は、量子テレポーテーションが量子計算の原始的なサブルーチンとして重要な役割を果たすことを示唆しました。G. Brassard、SL Braunstein、R。Cleve は、量子テレポーテーションは量子計算として理解できることを示しました。

テレポーテーションで2ビット未満の古典的な通信をどのように達成するかはわかりませんが、非整数の数値を得る方法の1つは次のとおりです。次元クディットをテレポートすると、二。各テレポーテーションのプロトコルでは、あなたが使用してビットで表すことができた情報、の2つの短点送信する必要があると思います⌈ 2 ログ2（D ）⌉ビットを。その後、プロトコルを何度も繰り返す場合、送信する従来のメッセージを組み合わせて、平均してテレポーテーションプロトコルごとに2 log 2（d ）に減らすことができます。$d$$\lceil 2\log_2(d)\rceil$$2\log_2(d)$

古典的なコミュニケーションの2ビット未満に向かう可能性のあるルートの1つは、不完全なテレポーテーションと非ユニバーサルテレポーテーションの組み合わせを使用することです（ここで、テレポートされる状態が事前にわかっている場合） 。リソースの状態がαの場合| 00 ⟩ + √、次いで、テレポーテーション・プロトコルの各測定結果を得る確率がの値に依存α：状態をテレポート（COS$\alpha|00\rangle+\sqrt{1-\alpha^2}|11\rangle$$\alpha$、四つの異なるベル測定のprobailitiesを与えます | B、X、Y⟩=$(\cos\frac{\theta}{2}|0\rangle+\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}|1\rangle)$ として のPのX、Y=

$$|B_{xy}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0x\rangle+(-1)^y|1\bar x\rangle\right)$$ X及びYは単一ビットです。未知の量子状態のための入力分布を使用して、我々はの平均値を計算することができます罪のθを。 $$p_{xy}=\frac{1}{4}(1+(-1)^x(2\alpha^2-1)\cos\theta),$$ $x$$y$$\sin\theta$

（入力状態がどのような状態かもしれない）ユニバーサルテレポーテーションのために、一つは持ってい。この場合、確率はすべて等しく、できることは、測定結果を2ビットx yとして送信することです。$\int_0^{\pi}\cos\theta\sin\theta d\theta=0$$xy$

今ケースを想像。次に、確率は（$(2\alpha^2-1)\langle\cos\theta\rangle=\frac12$。一つは、例えば、使用してこの情報を圧縮することができ、ハフマン符号化：{00、01、10、11}↦{0、10、110、111}。これには予想されるメッセージの長さが$(\frac38,\frac38,\frac18,\frac18)$$\{00,01,10,11\}\mapsto\{0,10,110,111\}$。したがって、このプロトコルを何度も繰り返すと、平均してテレポーテーションごとに1.875ビットを送信します。もちろん、これはほんの一例です。任意の値（2α2-1）⟨のcosθ⟩>$\frac{15}{8}$は圧縮を行います。$(2\alpha^2-1)\langle\cos\theta\rangle>\frac13$

トレードオフは（圧縮が行われない場合）、テレポーテーションは不完全です。$|\alpha|^2=|\beta|^2=\frac12$

最近、Subhash Kakによる、より少ない古典的な通信コスト（より多くの量子リソース）を必要とするテレポーテーションプロトコルを紹介する論文を見つけました。別の答えを書いたほうがいいと思いました。

Kakは3つのプロトコルについて説明します。それらの2つは1 cbitを使用し、最後の1つは1.5 cbitを必要とします。しかし、最初の2つのプロトコルは異なる設定になっています。つまり、もつれた粒子は最初にアリスの研究室にあり（そしていくつかのローカル操作が実行されます）、その後、もつれた粒子の1つがボブの研究室に転送されます。これは、プロトコルが開始される前に、もつれた粒子がアリスとボブの間で事前共有される標準設定とは異なります。興味のある人は、1 cbitのみを使用するプロトコルを使用できます。1.5 cbit（fractional cbit）のみを使用する最後のプロトコルを説明しようとします。

$X, Y, Z$$U$$X$$X, Y$$Z$$U$$X$$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$$Y, Z$$U$$|000\rangle+|111\rangle$

$$\alpha|0000\rangle + \beta|1000\rangle + \alpha|0111\rangle + \beta|1111\rangle$$

$X, Y$$Z$$X$$Y$$Y$$Z$

$XOR$

$$XOR = \left[{\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}}\right].$$

$$|00\rangle \rightarrow |00\rangle \\ |01\rangle \rightarrow |01\rangle \\ |10\rangle \rightarrow |11\rangle \\ |11\rangle \rightarrow |10\rangle \\ $$

$$\alpha|0000\rangle + \beta|1110\rangle + \alpha|0101\rangle + \beta|1011\rangle$$

$X$

$$\alpha(|0000\rangle + |1000\rangle) + \beta(|0110\rangle - |1110\rangle) + \alpha(|0101\rangle + |1101\rangle) + \beta(|0011\rangle - |1011\rangle)$$

$X$$Y$

$$|00\rangle(\alpha|00\rangle + \beta|11\rangle) + |01\rangle(\alpha|01\rangle + \beta|10\rangle) + |10\rangle(\alpha|00\rangle - \beta|11\rangle) + |11\rangle(\alpha|01\rangle - \beta|10\rangle).$$

$Z$$U$

$|00\rangle$, then both Alice and Bob do nothing.

(b) If Alice gets $|10\rangle$, then Alice applies $\left[{\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1 \end{array}}\right]$ and Bob does nothing.

(c) If Alice gets $|01\rangle$, then Alice does nothing and Bob applies $\left[{\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0 \end{array}}\right]$.

(d) If Alice gets $|11\rangle$, then Alice applies $\left[{\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1 \end{array}}\right]$ and Bob applies $\left[{\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0 \end{array}}\right]$.

Basically, $\left[{\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1 \end{array}}\right]$, $\left[{\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1 \end{array}}\right]$, $\left[{\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0 \end{array}}\right]$ and $\left[{\begin{array}{cc}0 & 1 \\-1 & 0 \end{array}}\right]$ can be appropiately used to alter the combined state of $Z$ and $U$ so that it becomes $\alpha|00\rangle + \beta|11\rangle$. Note that if Alice gets $|01\rangle$ or $|11\rangle$, then Bob has to apply some unitary so that the combined state of $Z$ and $U$ is $\alpha|00\rangle + \beta|11\rangle$.

Step 5: Apply Hadamard transform on the state of $Z$.

After applying the unitaries, the combined state of $Z$ and $U$ is $\alpha|00\rangle + \beta|11\rangle$ (as mentioned above). So, after Step 5, the combined state of $Z$ and $U$ is,

$$\alpha|00\rangle + \alpha|10\rangle + \beta|01\rangle - \beta|11\rangle \\ = |0\rangle(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) + |1\rangle(\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle).$$

Step 6: Alice measures the state of $Z$.

Based on her measurement, she transmits one classical bit of information to Bob so that he can use an appropriate unitary to obtain the unkown state!

Discussion: So, how does the protocol require $1.5$ bits of clasiical communication? Cleary, Step 6 uses 1 cbit, and in Step 4, it is easy notice that for two outcomes (namely, $|10\rangle$ or $|00\rangle$), Bob need not apply any unitary. Bob has to apply some unitary (specified prior to the protocool; say $\left[{\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0 \end{array}}\right]$) if Alice gets the other two outcomes, and in those scenarios, Alice sends one cbit indicating that the unitary is to be used by Bob. So, it is mentioned that this has a computational burden of 0.5 cbits (because 50% of the time, Bob need not apply any unitary). Hence, the whole protocol requires only 1.5 cbits.

But, Alice must send that 1 cbit whether or not she gets those outcomes, right? Alice and Bob cannot agree on a particular time (after the protocol) when Alice sends that 1 cbit, and if Bob doesn't get that classical bit by that time, then he knows that he need not apply any unitary. These time dependent protcols are, in general, not allowed due to relativistic consequences (otherwise, you can even make the Standard protocol to use time for indicating information and reduce the classical communication cost to 1 cbit; for example, at $t_1$, send one cbit or at $t_2$, send one cbit). So, Alice must send that cbit everytime, right? In that case, the protcol requires 2 cbits (one in Step 4 and another in Step 6). I thought it'd be good if there was a discussion on this particular part.