断熱量子計算において、初期ハミルトニアンが最終ハミルトニアンと通じないことがなぜ重要なのですか？

私は上の多くのソースや書籍で読んだ断熱量子計算、それがために重要であること（AQC）初期ハミルトニアン H私はで通勤しないように、最終的なハミルトニアンHの Fすなわち、[ H I、H F ]$\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$。しかし、なぜそれがそれほど重要なのかという議論を見たことはありません。$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

我々は線形時間依存性を仮定した場合AQCのハミルトニアンは、 H（T ） = （ 1 - T ここで

だから私の質問は次のとおりです。最初のハミルトニアンが最後のハミルトニアンと通勤しないことがなぜ重要なのですか？

断熱QCでは、結果を基底状態から抽出できるように、問題をハミルトニアンにエンコードします。その基底状態を直接準備するのは難しいので、代わりに「簡単な」ハミルトニアンの基底状態を準備してから、2つの間をゆっくりと補間します。十分に遅くすると、システムの状態は基底状態のままになります。プロセスの最後に、解決策があります。

これは 断熱定理ます。定理が成立するためには、基底状態と最初の励起状態の間にエネルギーギャップがなければなりません。ギャップが小さくなると、基底状態と最初の励起状態の混合を防ぐために補間する必要が遅くなります。ギャップが閉じると、このような混合を防ぐことはできず、十分に遅くすることはできません。その時点で手順は失敗します。

最初と最後のハミルトニアン通勤の場合、同じエネルギー固有状態を持っていることを意味します。したがって、彼らはどの州がエネルギーを割り当てられるかについて同意し、彼らが得るエネルギーについてのみ反対します。2つのハミルトニアン間の補間は、エネルギーを変更するだけです。したがって、最終的な基底状態は最初は励起状態であり、元の基底状態は最後に励起されます。ある時点で、すれ違うとき、これらの状態のエネルギーは等しくなり、それらの間のギャップは閉じます。これは、ある時点でエネルギーギャップを閉じる必要があることを確認するのに十分です。

したがって、非通勤のハミルトニアンを持つことは、ギャップを開いたままにするための必要条件であり、したがってAQCにとってもそうです。

2つの行列（この場合、ハミルトニアン）が通勤する場合、それらは同じ固有ベクトルを持ちます。したがって、最初のハミルトニアンの基底状態を準備すると、それは（大まかに言って）断熱進化全体を通して固有状態のままになります。

もう少し厳密にしたい場合は、最初のハミルトニアンが2番目のハミルトニアンによって持ち上げられた縮退を持っている可能性があり、システムを固有の基底状態に進化させることを望んでいるかもしれません。ただし、2番目のハミルトニアンがゼロ以外の量になると、縮退が解除されることに注意してください。どんな効果があるとしても、それは瞬間的なものです。適切な断熱進化が得られないと思います。代わりに、新しい固有状態の重ね合わせとして初期状態を記述する必要があり、これらは時間とともに進化し始めますが、ターゲット状態（基底状態）との状態の重複を増やすことはありません。

初期ハミルトニアンを有するイジング最適化の文脈において、それが本質的に製品で問題ハミルトニアン手段と通勤その固有状態は、古典的なビット列であることを意味演算子、。したがって、最初の基底状態（t = 0）も古典的であり、すべての可能なビット列の重ね合わせではありません。$\sigma^Z$$t$

さらに、AQCの厳密な境界（たとえば、オープンシステムの量子アニーリング、QAOAなど）を超えても、駆動ハミルトニアンが転流すると、問題のハミルトニアンの固有状態間の遷移を誘導できず、波動関数の振幅の位相のみが変化します; また、検索スペースを探索するためにスピンフリップを誘導できるドライバーが必要です。

$H_i$$H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

最小固有値（つまり基底状態）を持つ固有ベクトル$H_i$ is $|1\rangle$ so we start in this state. The ground state of $H_f$ is $|0\rangle$ so this is what we're looking for.

Remember the minimum runtime for the AQC to give the correct answer to within an error $\epsilon$:
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$.

This is given and explained in Eq. 2 of Tanburn et al. (2015).

• Let's say we want $\epsilon = 0.1$.
• Notice that $||H_i - H_f||^2 = 0.1$ according Eq. 4 of the same paper.
• Notice that $\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$ (I've chosen $\epsilon$ so that this would happen, but it doesn't matter).
• We now have $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

So what is the minimum gap between ground and first excited state (which gives the $\max_t$) ?
When $t=20\tau/29$, the Hamiltonian is:

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

So when $t=\frac{20}{29}\tau$, we have $E_{\rm{gap}}=0$ and the lower bound on $\tau$ is essentially $\infty$.

So the adiabatic theorem still applies, but when it states that the Hamiltonian needs to change "slowly enough", it turns out it needs to change "infinitely slowly", which means you will not likely ever get the answer using AQC.