「一定の基準での測定」とはどういう意味ですか？

ベルに関するウィキペディアの記事には、次のように書かれています。

各量子ビットが関連する基準で測定される場合、ベル状態で絡み合っている2つの量子ビットで行われた独立した測定は、完全に正の相関があります。

特定の基準で測定を実行することはどういう意味ですか？

あなたは、ウィキペディアの記事のベルの状態の例を使用して答えることができます。

$S=1/2$$S_z=+1/2$$S_z=-1/2$$S_x=+1/2$$S_x=-1/2$

ベルペアの測定値は、非直交ベースで測定すると互いに相関します（zで1つの粒子を測定し、xで他の粒子を測定した場合、結果は完全に無相関になります; zで両方またはxで両方を測定すると、結果は完全に相関します）。

測定ベースの他の例は、光子による偏光です。垂直と水平が直線偏光基底であり、時計回りと反時計回りが円偏光基底です。

量子ビットは、基本的には少し抽出できる量子オブジェクトです。しかし、これを行うにはさまざまな方法があり、得られる答えは選択した測定によって異なります。

量子ビットが電子スピンの場合、測定基準は特定の方向のスピンの測定に対応します。より一般的には、この図をブロッホ球の形で使用します。この場合の測定は、球上の対向する点のペアを取得し、キュービットにその間を選択させることに対応します。可能な対のポイントの各ペアは、異なる測定基準と呼ばれます。

$Z$

所定のベル状態、およびキュービットの1つの所定の測定基準に対して、結果が完全に相関する2番目の測定基準が存在します。これが記事の目的のようです。

$Z$$X$$Z$

特定の基準で測定を実行することはどういう意味ですか？

特定の観測可能量の測定に非常に近い。量子力学では、オブザーバブルの測定について話すとき、通常、測定の結果としての固有値に主に関心があります。量子情報では、固有値は気にしません。測定後の状態にのみ関心があり、この状態は、測定されているオブザーバブルの固有ベクトルとして解釈できます。

数学的には、「特定の基準での測定」には、同じ測定に対応する多くのオブザーバブルが存在します（すべてが物理的な意味を持つわけではありません）。これらのオブザーバブルはすべて同じ固有ベクトル（測定基準を形成）を持ちますが、固有値が異なる場合があります。固有値は異なっていれば問題ではないため、測定では固有ベクトル（測定基底状態）が区別されます。