2つの別々に絡み合ったキュビットがC-NOTゲートを通過するとどうなりますか？

次のように状態を変換するとします。

私は状態。 $\lvert 0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert 0 \rangle$
1番目と2番目のキュービットを絡み合わせます（HゲートとC-NOTを使用）。
次に、3番目と4番目のキュービットを同じように絡ませます。

HゲートとC-NOTを2番目と3番目のキュービットのアフターワードに適用しようとすると、システム全体がもつれますか？その場合、1番目と4番目のキュービットはどうなりますか？

（Physics.SEからクロス投稿）

quantum-gate entanglement

— Midhun XDA
ソース

Physics SEからのクロスポスト。

— エミリオピサンティ

私は、あなたが尋ねた最初の質問にあなたの投稿を集中させました、それは2つのより興味深いです。非常に密接に関連している場合を除き、投稿ごとに複数の質問をすることは避けてください。

— Niel de Beaudrap

また、適用されているゲートを明確に視覚化する明示的な量子回路が質問に含まれているとよいでしょう。

— agaitaarino

ご質問ありがとうございます！他の人が言ったように、投稿ごとに1つの質問がある方が良いです。2つ目の質問を別の質問として再投稿すると、きめ細かい回答が得られると思います。DaftWullieの答えも良い仕事をしますが。

— James Wootton、

迅速な対応ありがとうございました。私はこの量子コンピューティング分野の初心者です。私は最近、YouTubeの「決定のための量子コンピューティング」[リンク]（youtu.be/X2q1PuI2RFI?list=PL1826E60FD05B44E4）再生リストを見ました。今、私はQCをエミュレートするためのプログラミングライブラリを作成しようとしています（すでにあることを知っています）。誰かが私にいくつかのソースをリンクできますか？私は実際にすべての技術的なことを学ぶことができますか？答えが出るまで「ρ」の目的を知りませんでした。（これを新しい質問として尋ねる必要がありますか？）

— Midhun XDA

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>} %$

（ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） \otimes （ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） / 2

$\left(\ket{00}+\ket{11}\right)\otimes\left(\ket{00}+\ket{11}\right)/2$

（ | 0 ⟩ （ | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ） + | 1 ⟩ （ | 0 ⟩ - | 1 ⟩ ） ） \otimes （ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） / （ 2 \sqrt{2} ）

$(\ket{0}(\ket{0}+\ket{1})+\ket{1}(\ket{0}-\ket{1}))\otimes(\ket{00}+\ket{11})/(2\sqrt{2})$

（ | 0 ⟩ \otimes （ | 0 ⟩ \otimes （ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） + | 1 ⟩ \otimes （ | 10 ⟩ + | 01 ⟩ ） ） + | 1 ⟩ \otimes （ | 0 ⟩ \otimes （ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） - | 1 ⟩ \otimes （ | 10 ⟩ + | 01 ⟩ ） ） ） / （ 2 \sqrt{2} ）

$(\ket{0}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})+\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01}))+\ket{1}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})-\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01})))/(2\sqrt{2})$ これをシステム全体の完全な状態が必要であることに注意してください。もつれのために、キュービット1と4の状態について個別に話すことはできません。

| Ψ ⟩ = （ （ | 0 ⟩ - | 1 ⟩ ） | 1 ⟩ （ | 10 ⟩ + | 01 ⟩ ） + （ | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ） | 0 ⟩ （ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ） ） / （ 2 \sqrt{2} ）

$\ket{\Psi}=((\ket{0}-\ket{1})\ket{1}(\ket{10}+\ket{01})+(\ket{0}+\ket{1})\ket{0}(\ket{00}+\ket{11}))/(2\sqrt{2})$

「まだ絡み合っているのか」という質問は単純に「はい」ですが、これは実際にははるかに複雑な問題の些細なことです。製品の状態ではないという意味で絡み合っています。 $\ket{\psi_1}\otimes\ket{\psi_2}\otimes\ket{\psi_3}\otimes\ket{\psi_4}$

この状態が絡まっていることを確認する1つの簡単な方法は、2つのパーティション、つまりキュービットを2つのパーティに分割することです。たとえば、量子ビット1を1つのパーティ（A）とし、他のパーティをすべてパーティBとします。パーティAの還元状態を計算する場合、製品の状態（もつれていない）は純粋な状態でなければなりません。一方、還元状態が純粋でない場合、つまりランクが1より大きい場合、状態は確実に絡み合っています。たとえば、この場合、ランクは2です。実際には、、キュービット2と3の間で何をしたかは関係ありません。

ρ_{あ} = Tr （ | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | ） = \frac{私}{2} 、

$\rho_A=\text{Tr}(\ket{\Psi}\bra{\Psi})=\frac{\mathbb{I}}{2},$

ρ_{A}

$\rho_A$ その単一性から独立しています。量子ビット1で作成されたエンタングルメントを削除することはできません（量子ビット2と3の間で拡散する可能性があります）。どのキュービットが絡み合っているかを確認するために、さまざまな2つのパーティションを確認する必要があるという事実は、すでにいくつかの複雑さを示し始めています。純粋な状態の場合、1キュービットの各2分割を残りの部分と一緒に見るだけで十分です。これらの各密度低減行列がランク1の場合、状態全体を分離できます。

あなたの質問に関連して、あなたは「絡み合いの一夫一婦」の問題を調べたいかもしれません-より絡み合った量子ビット1は量子ビット2であり、より絡み合っていない量子ビット1は量子ビット3であり（例えば）、それはさまざまな方法があります。同様に、「どのようなエンタングルメントがあるか」について質問できます。1つのアプローチは、さまざまなタイプに変換できるエンタングルメントのタイプを調べることです（多くの場合、「SLOCC等価クラス」と呼ばれます）。たとえば、3キュビットでは、ようなW状態のエンタングルメントとようなGHZ-entanglementを区別します、キュービットの異なるペア間の2部間のエンタングルメント、および他の分離可能な状態。 $\ket{001}+\ket{010}+\ket{100}$ $\ket{000}+\ket{111}$

— DaftWullie
ソース