偏光キュービットにCNOTをどのように適用しますか？

私は、キュービットが偏光状態（光子の水平または垂直偏光）でエンコードできることを読みました。偏光キュービットで2キュービット操作をどのように実行しますか？

線形光学量子コンピューティングの標準的なリファレンスは、Kokらです。2009（quant-ph / 0512071）。

1つの量子ビットは、単一光子の自由、及び第二量子ビットの偏光度で符号化されている場合、パスの自由度が同じ光子は、CNOTゲートは自明によって実装され、偏光ビームスプリッタ。これは一種のビームスプリッタで、偏光が何らかの偏光状態（）である場合にのみ光子の経路を変更し、それ以外の場合は光子を経路に残します。したがって、これは事実上CNOTゲートであり、制御キュビットは分極であり、ターゲットキュビットはパスです。$|V\rangle$

もちろん、同じアイデアを使用して、3つ以上のキュービットの間にゲートを実装することはできません。一般的に言えば、単一光子の自由度（位置、時間/周波数、偏光、軌道角運動量）に取り組んでいる限り、それらの間の変換を実装することは「簡単に」実行できますが、これは制限されたアプローチです単一の光子に多くの情報を詰め込むことは実際にはスケーラブルではないからです。

非常に異なるストーリーは、多くの異なる光子の偏光キュービットの使用です。これの主な問題は、光子が自然に相互作用しないため、そのようなキュビット間の2つのキュビットゲートが重要なものになることです。実際、線形光学だけでは、決定論的な方法で任意の2キュービットゲートを実装することは不可能であることを示すのは簡単です。たとえば、2つの単一光子があり、それぞれが異なる空間モードにあり、両方が初期偏光状態ある場合を考えます。標準の2番目の量子化表記を使用すると、線形光学内のこれらの2つの光子の間に実装できる変換のセットは、 $|H\rangle$

$$a_H^\dagger b_H^\dagger \to\left(\sum_{k=H,V}\alpha_k c_k^\dagger +\beta_k d_k^\dagger\right)\left(\sum_{k=H,V}\gamma_k c_k^\dagger +\delta_k d_k^\dagger\right),$$ ここで、は、実装されている線形変換を特徴付けるパラメーター、は偏光持つ空間モードおよびの入力光子の作成演算子、およびおよびは光子の2つの出力モードを示します。たとえば、の値のセットは、変換を実装できないことがます。 $\alpha_k,\beta_k,\gamma_k,\delta_k$$a_H^\dagger,b_H^\dagger$$a$$b$$H$$c$$d$$\alpha_k,\beta_k,\gamma_k,\delta_k$ $$a_H^\dagger b_H^\dagger\to c_H^\dagger d_V^\dagger + c_V^\dagger d_H^\dagger,$$ 変換するために、線形光学系内、決定論的に生成することが可能ではないことを意味へベルの状態。$|00\rangle$$|01\rangle+|10\rangle$

上記からわかることは、単一光子を使用した線形光学量子計算には、ある種の非線形性が必要であることです。したがって、カーメディアなどの非線形要素を使用するか、測定プロセスによって引き起こされる非線形性を利用する必要があります。残念ながら、十分に強力なカー相互作用を実装する資料を見つけることは非常に困難です（これまで、これを行うための実行可能な既知の方法はないと思いますが、修正される可能性があります）。一方、測定を使用した線形光量子計算は、Knill、Laflamme、およびMilburn（KLM）プロトコルを介して可能です。。このプロトコルは、光子バンチング、ゲートテレポーテーション、および射影測定を利用して、異なる偏光キュービット間の効果的な相互作用を取得します。これがどのように機能するかについての詳細はここでは説明しません。これ自体は問題に値するかもしれませんが、KLMプロトコルを使用してCZゲートを実装する回路は、Kokらの図10にあります。2009