2つのキュービットが絡まるとはどういう意味ですか？

私はキュービットとそれらを悪名高いものにするいくつかの種類のオンライン調査を行いました。つまり、キュービットが同時に1と0を保持できるようにすることと、キュービットが何らかの方法で絡み合い、関連するデータをどこにでも持つことができることですそれらは（銀河の反対側でも）です。

ウィキペディアでこれについて読んでいる間、私はまだ理解するのが難しい方程式を見てきました。ウィキペディアへのリンクはこちらです。

質問：

1. そもそも彼らはどのように絡み合っていますか？

2. 彼らはどのようにデータを関連付けますか？

簡単な例として、明確な状態の2つのキュービットおよびます。システムの結合状態は、または略称です。| 0 ⟩ | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ | 00 $|0\rangle$$|0\rangle$$|0\rangle\otimes |0\rangle$$|00\rangle$

その後、次の演算子をキュービットに適用すると（画像は超高密度コーディング wikiページから切り取られます）、結果の状態はもつれ状態（ベル状態の 1つ）になります。

最初の画像では、最初のキュービットに作用するhadamardゲートがあります。これは、より長い形式ではため、2番目のキュービットの恒等演算子です。$H\otimes I$

hadamard行列は、 になりますここで、基底は。{| 0⟩、| 1⟩

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$

したがって、hadamard演算子が動作した後、状態は

$$(H\otimes I)(|0\rangle\otimes|0\rangle)=H|0\rangle\otimes I |0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes (|0\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle)$$

回路の次の部分は制御されたゲートではなく、最初のキュービットが場合にのみ2番目のキュービットに作用します。$1$

はとして表すことができます。ここで、ビットへの射影演算子、または行列形式です。同様にされる。| 0 ⟩ ⟨ 0 | ⊗ I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ⊗ X | 0 ⟩ ⟨ 0 | 0 （1 0 0 0） | 1 ⟩ ⟨ 1 | （0 0 0 1$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$|0\rangle\langle0|$$0$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle\langle1|$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

オペレータは、ビットフリップ演算子は、のように表される。（0 1 1 0$X$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

全体的にマトリックスは（1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0$CNOT$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\0 & 0 &1 & 0 \\\end{pmatrix}$

を適用するとき、状態をベクトルとして記述することにより行列乗算を使用できます、またはテンソル積形式を使用できます。（$CNOT$$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 \end{pmatrix}$

$$CNOT (\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle))=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

状態の最初の部分のでは、最初のビットがであるため、2番目のビットはそのままです。状態の2番目の部分最初のビットはであるため、2番目のビットはから反転し。0 | 10 ⟩ 1 0 $|00\rangle$$0$$|10\rangle$$1$$0$$1$

最終状態はであり、これは最大のもつれ状態である4つのベル状態の1つです。

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

彼らはもつれされることが何を意味するのかを確認するには、あなたが最初の量子ビットの発言の状態を測定した場合、あなたはそれがあったことが判明した場合、その告知それはすぐに第二量子ビットでもなければならないかを示しますので、それが私たちの唯一の可能性です。$0$$0$

たとえば、この状態と比較してください：

$$\frac{1}{2}(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle).$$

最初のキュービットがゼロであると測定した場合、状態はに崩壊します。qubitはまたはです。0$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|01\rangle)$$0$$1$

状態がどのように絡まれるのか、これがアイデアを与えてくれることを願っています。光子や電子のもつれなどの特定の例を知りたい場合は、特定のゲートを実装する方法を調べる必要がありますが、それでも数学を同じように書くことができますとは、さまざまな物理的状況。$0$$1$

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更新1：QM / QC / Dirac表記のミニガイド

通常、である単一のキュービットに対して標準の計算（直交正規）基底があり。たとえば、はベクトル空間です。H = スパン{ | 0 ⟩ 、| 1 ⟩ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$$\mathcal{H}=\operatorname{span}\{|0\rangle,|1\rangle\}$

私たちが識別できる根拠のこの順序でととと。この基底を使用して、単一のキュービット演算子を行列形式で記述することができます。例えば、ビット反転演算子（pauli- sigma_xの後）は、およびを取る必要があり、と書くことができます、行列の最初の列は最初の基底ベクトルの画像などです。（1 0） | 1 ⟩ （0 1） X σ X | 0 ⟩ ↦ | 1 ⟩ | 1 ⟩ ↦ | 0 ⟩ （0 1 1 0$|0\rangle$$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle$$\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$$X$$\sigma_x$$|0\rangle\mapsto |1\rangle$$|1\rangle \mapsto |0\rangle$$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

複数のsay -qubitがある場合、それらはスペース属する必要があります。。このスペースの基礎は、ゼロと1の文字列でラベル付けされます。たとえば、です。H ⊗ N：= N - T iは、mは電子の⏞ H ⊗ H ⊗ ⋯ ⊗ H | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ ⊗ ... ⊗ | 0 ⟩ | 011 ... 0 $n$$\mathcal{H}^{\otimes n}:=\overbrace{\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}}^{n-times}$$|0\rangle\otimes|1\rangle\otimes |1\rangle\otimes\ldots \otimes|0\rangle$$|011\ldots0\rangle$

2つのキュービットの簡単な例、の基礎はまたは略記。 { | 0⟩⊗ | 0⟩、 | 0⟩⊗ | 1⟩、 | 1⟩⊗ | 0⟩、 | 1⟩⊗ | 1⟩}{ | 00⟩、 | 01⟩、 | 10⟩、 | 11⟩$\mathcal{H}^{\otimes 2}=\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$$\{|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle\}$$\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}$

行列を使用するためにこの基準を順序付ける方法はいくつかありますが、自然な方法の1つは、上記のように文字列を2進数の数字のように順序付けることです。たとえば、量子ビットの場合、基底をように並べ替えることができます。$3$

$$\{|000\rangle,|001\rangle,|010\rangle,|011\rangle,|100\rangle,|101\rangle,|110\rangle,|111\rangle\}.$$

これが役立つ理由は、演算子の行列のクロネッカー積に対応するためです。たとえば、最初に基底ベクトルを見ます：

$$|0\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

そして

$$|0\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

同様に

$$|1\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1\\0 \end{pmatrix},\quad |1\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

2つのキュービットに作用する演算子、たとえばあり、上記のように基底を並べる場合、行列のクロネッカー積を取得してこの基底の行列を見つけることができます。$X_1X_2:=X\otimes X$

$$X_1X_2=X\otimes X=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 0\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0&0&1\\ 0 &0&1&0\\0 &1&0&0\\1 &0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

私たちはの例を見ればとして与えられた上記。これは、として行列形式で計算できます。は、上記の行列です。$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$^*$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$CNOT$

これは、速記とテンソル製品を使用するのではなく、計算スペースとして成長するため、行列表現にすべてを変換するに慣れる価値があるのためのあなたが持っている3キュビトするための手段-qubits、行列、 -qubitsあなたを持っているの行列を、それがすぐに行列形式に変換するために、実用的なよりも小さくなります。$2^n$$n$$8\times 8$$4$$16\times 16$

脇：ディラック表記を使用して、ようなベクトルを表す一般的な方法がいくつかあります。二重ベクトル。たとえば、、ベクトルと間の内積。ようなスペース上の演算子 。$^*$$|0\rangle$$\langle 0|$$\langle 0|1\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$$X=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$

ような演算子 射影演算子はおよび満たすため、（直交）射影演算子です。$P_0=|0\rangle\langle0|$$P^2=P$$P^\dagger=P$

リンクされたウィキペディアの記事では、エンタングルメントを古典物理学と区別する機能として使用しようとしていますが、私たちの直感が少しうまく機能する古典的なものを見ると、エンタングルメントについてある程度理解を始めることができると思います...

毎回、0、1、2、または3の数字を吐き出す乱数ジェネレーターがあるとします。通常、これらの確率は等しくしますが、必要な結果に任意の確率を割り当てることができます。たとえば、確率1/2でそれぞれ1と2を与え、0または3を与えないようにします。したがって、乱数ジェネレーターが何かを選ぶたびに、1または2を与えます。することが。ここで、これらの数値を1として01、2として10の2進数で書きましょう。次に、各ビットを別の人、たとえばアリスとボブに渡します。これで、乱数ジェネレーターが01または10のいずれかの値を選択すると、アリスには1つの部分があり、ボブにはもう1つの部分があります。したがって、アリスは彼女のビットを見ることができ、彼女が得る値が何であれ、彼女はボブが反対の値を持っていることを知っています。これらのビットは完全に反相関していると言います。

エンタングルメントはほぼ同じように機能します。たとえば、量子状態 ここで、Aliceは1ビットの保持し、Bob 1ビットを保持します。アリスが選択した単一キュービット射影測定に関係なく、アリスは0または1の回答を受け取ります。ボブが彼のキュービットで同じ測定を行った場合、彼は常に反対の答えを受け取ります。これには、古典的な場合を再現するZ基準での測定が含まれます。

$$\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|01\right\rangle-\left|10\right\rangle\right)$$ $\left|\psi\right\rangle$

違いは、これがすべての可能な測定基準に当てはまるという事実に由来し、そのためには、測定結果は予測不可能である必要があり、それは古典的な場合とは異なるところです（ベルテストについて読むことができます） 、特にCHSHテスト）。最初に説明した古典的な乱数の例では、乱数ジェネレーターが何かを選択すると、コピーできない理由はありません。他の誰かが、アリスとボブの両方がどのような答えを得るかを知ることができます。ただし、クォンタムバージョンでは、アリスとボブが得る答えは存在しないため、他の誰もそれらを知ることができません。誰かがそれらを知っていれば、2つの答えは完全に反相関しません。これが量子鍵配布の基礎です 盗聴者の存在を検出できることを基本的に説明しているためです。

絡み合いを理解しようとするのに役立つかもしれないさらに何か：数学的には、重ね合わせと違いはありません。ある時点で、重ね合わせた部分を遠距離で分離することです。分離を行うことで、興味深いことを行うことができるリソースが提供されます。実際、エンタングルメントは「分散重ね合わせ」と呼ばれるもののリソースです。

エンタングルメントは量子物理現象であり、実際の実験で実証され、量子力学で数学的にモデル化されています。それが何であるか（哲学的に）の創造的な推測をいくつか考え出すことができますが、結局はそれを受け入れて数学を信頼するだけです。

統計の観点からは、2つのランダム変数（キュービット）間の完全な相関（1または-1）と考えることができます。これらの変数の結果を事前に把握していない場合もありますが、相関関係により、一方の変数を測定すると、もう一方の変数は見えなくなります。私は最近、量子コンピューティングシミュレータによって量子エンタングルメントがどのように処理されるかに関する記事を書きました。