単一キュービットを表すブロッホ球の代替

単一キュービットを表すために我々はで単一ベクターを使用を持つヒルベルト空間の正規直交基底（の1つ）である。$|\psi\rangle$$\mathbb{C}^2$$(|0\rangle, |1\rangle)$

Blochボールを使用してを描画できます。ただし、直交ベクトルは空間的に反平行であるため、この表記法は非常に紛らわしいことがわかりました（この物理スタック交換の質問の簡単な説明）。$|\psi\rangle$

単一のキュービットの異なるグラフィック表現を知っていますか？

質問に含まれているリンクで、user098876が書いた別の質問「Bloch sphereについて」で、ダニエルは役に立つコメントをしています。

「量子2レベルシステムの状態を表すために球に点を描くことは、それらの点を3D空間の実ベクトルと考える必要があるという意味ではありません。– DanielSank 15年9月3日20:17に」

簡単な説明：球に投影された2つの側面（または2つの平面）です。

「直交ベクトルは空間的に反平行であるため、この表記法は非常に紛らわしいことがわかりました（このPhysics Stackexchangeの質問の簡単な説明）。単一のキュービットの異なるグラフィック表現を知っていますか？」

量子ビットから量子に拡張するより一般的な表現を提供するために、多くの努力が進行中です。マヨラナ球体を使用したこの説明と表現はそれほど変わらず、それでも球体ですが、おそらくそれほど混乱しないでしょう：

マヨラナ球上のキュービットについては、「Bloch球上の点としてのNキュービット状態」を参照してください。

「要約。N-キュービットシステムの純粋な状態を表現するためにマヨラナ表現を使用する方法を示します。結論として、マヨラナ表現はスピン粒子を研究する場合に役立ちますが、代替表現は状態 -qubitシステムが議論されている。可視化を支援するだけでなく -qubit状態と、彼らが回転し、他の操作に変換する方法を、後者の表現はまた、いくつかの特別な識別するために役立つかもしれマヨラナ表現はで行ったように、状態を-qubitスピナー・ボーズ・アインシュタイン凝縮の文脈。」N N $S$$N$$N$$N$

参照：「マジョラナ表現、キュートリットヒルベルト空間、およびクトリットゲートのNMR実装」：

ページ1：

「ブロッホ球は、単一量子ビットの量子状態の表現を（3つの実次元の単位球）に提供し、純粋な状態が表面にマッピングされ、混合状態が内部にあります。この幾何学的表現スピン状態の場合、特にNMRベースの量子計算の場合、量子状態とその変換の視覚化を提供するのに役立ち1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$NMR rfパルスによる磁化とその変換は、ブロッホ球で視覚化されます。高レベルの量子系の幾何学的表現についてはいくつかの提案がありましたが、ブロッホ球のような画像をより高いスピンに拡張することは簡単ではありません。マヨラナによって幾何学的な表現が提案されました。スピン ' 'の純粋な状態は、マヨラナ球と呼ばれる単位球の表面上の'2 'ポイントによって表されます。$s$$_s$

spinsシステムのマヨラナ表現は、スピン幾何学的位相の決定、ポイントによるスピナーの表現、マルチキュービットエンタングルド状態の幾何学的表現、カオス量子力学システムの統計、偏光の特性評価などの広範なアプリケーションを発見しました。単一の量子（3レベルの量子システム）は、量子ベースの（レベルの量子システム）量子コンピューティングスキームで特に重要です。クトリットは、コンテキストなどの固有の量子機能を示す最小のシステムであり、量子コンピューティングのリソースであると推測されています。NMR量子量子計算は、spins>原子核を使用して実行できますN N d 1$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$または、2つ以上の結合スピン-原子核によってモデル化できます。この作業では、1つのキュートリットのマジョラナ球記述を使用します。ここでは、キュートリットの状態は、単位球上の点のペアで表され、キュートリット状態空間への洞察を提供します。$\frac{1}{2}$

ページ5：

単一のクトリットの純粋な集合における磁化ベクトルの大きさは、範囲値をとることができます。それどころか、キュービットの純粋なアンサンブルは、それに関連付けられた磁化ベクトルの単位の大きさを常に持ってい$\vert-$$\vec{M}$[ 0 、1 $\vert$$[0,1]$ます。単一キュートリット磁化ベクトルの幾何学的画像は、マヨラナ表現によって提供されます。値は、二等分線長さに依存し、に沿って配置されます。$\vert-$$\vec{M}$O O ′ z | − → M | [ 0 、1 $\vert$$OO'$$z$-軸と回転不変です。したがって、二等分線の長さの所定の値に対応して、半径が連続的に変化する同心球を想定することができ、その表面は一定の磁化の表面です。これらの球体の半径はに等しく、範囲で変化します。$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

ページ10：

おわりに

キュートリットの幾何学的表現がこの作品で説明されており、キュートリットの状態はマヨラナ表現に従って単位球上の2点で表されます。変換のアクションを介して標準状態の1パラメーターファミリーから任意の状態を生成するために、単一キュートリット状態のパラメーター化が取得されました。スピン磁化ベクトルはマヨラナ球で表され、状態はスピン磁化のゼロまたはゼロ以外の値に応じて「ポインティング」または「非ポインティング」として識別されました。アクションによって生成される変換1 S U （3 $SO(3)$$1$$SU(3)$発電機もマヨラナの幾何学的画像に統合されました。量子ビットとは異なり、高周波パルスの観点からの単一キュートリット量子ゲートの分解は簡単ではなく、マヨラナ球体表現はこれらのゲートを幾何学的に記述する方法を提供します。さまざまな量子ゲートの作用下でのマヨラナ球上のクトリットを表す点のダイナミクスの綿密な観察を使用して、rfパルス分解を取得し、NMRを使用して基本的な単一クトリットゲートを実験的に実装しました。

図。1.マヨラナ球上のクトリットは、それぞれ赤と青で示された線で球の中心に接続された2つの点とで表されます。、は、ポイント対応する極角および方位角です（、はポイント角度です）。（a）マヨラナ多項式の根は、平面点およびによって示され、その立体投影によりマヨラナ表現が生じます。単一キュートリット基底ベクトルのマヨラナ表現に対応する3つの例を示しますP 2 θ 1 φ 1 P 1 θ 2 φ 2 P 2、Z = 0 P ' 1、P ' 2（B $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$（C $(b)\;\vert+1\rangle$、および。点の1つは黒丸（赤）として表示され、他の点は空（青）の円で表されます。（D $(c)\;\vert0\rangle$$(d)\;\vert-1\rangle$

参照：「高スピン状態のマヨラナ表現」（.PDF）ウィーラー（ウェブサイト）または「マルチスピン量子状態のウィグナートモグラフィー」：

トモグラフィーを使用するとどのように見えますか-「この論文では、任意のマルチスピン量子状態の球面関数のトモグラフィースキームを理論的に開発します。特定の密度演算子（混合または純粋な）。」

「3つの頂点の幾何学的位相のブロッホ球表現」に描かれているブロッホ球の複雑さと比較してください。形状は同じですが、使用する投影法を視覚化する方法はすべて同じです。

以下は、それほどビジーではない画像です。

非常に大きな紙で半分に切断されたブロッホ球体を考えてください。紙の端（無限大）で、シートの上部の任意のポイントがボールの上部（シートの下面のボールの下部）に（無限）線を引きます。紙の中心（混合状態）に最も近い点は、球の中心に線を引きます。それは小さなボール上の無限までの距離を表し、キュービット/キューディットは有限であるため、紙はそれほど大きくありません。

次に、2D紙にポイントを描画し、紙からボールに線を引き、紙を取り除き、透明なボールを見たり、透けて見えるボールを通して、線のもう一方の端点を確認します。

はるかに正確で難しい説明が上記のリンクで提供されています。

@pyramidsが答えで伝えたことに追加する：

量子ビットの状態は、一般的にとして記述されます。ここで、、および。$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$は実数体上の4次元ベクトル空間です。以来、任意次元実ベクトル空間はと同形である$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$は、点のような任意の量子ビットの状態を表すことができる、その基底ベクトルのことができ、あまりにも、次元実空間であることを考える。そのような場合、キュービットの状態は。$4$$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$

、（）および（）とします。条件が満たされる必要があります。これは、キュービットは3球上の点になります。$\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

ご存知のように、紙やスクリーンのような次元の表面に次元の空間を効率的に表現することは困難です。したがって、その表現が頻繁に使用されることはありません。Bloch sphereは、（単一のキュービットに対して）もっとも効率的な表現です。これは、（2つの自由度を持つ複素数）1つの自由度を減らすためです。通常、キュービットの状態は大きさ正規化されます。つまり、です。$4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

次に、Hopf座標を使用して、次 のように言います。

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

ここで、はからまで実行できますが、および はからまでの値を取ることができます。$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

なぜケースであなたは迷っているの代わりに使用されているの答えを見ていこの物理スタック交換に優れた糸を。$\theta/2$$\theta$

さて、今でも3つの自由度に気づきますが、単位半径球では、量子ビットの異なる状態を取得するために変更できる2つの角度しかありません。$\psi,\phi,\theta$

は、基本的にと間の「相対フェーズ」であることに注意してください。一方、はの「相対フェーズ」には寄与しません。また、もも、大きさに寄与しません（角度に対してため）。以来どちらも「相対位相」にもの「大きさ」に貢献し持っていると言われていない物理的に観察結果を、我々はできる任意に選択したα β ψ α 、β φ ψ α 、β | E I φ | = 1 φ ψ α 、β α E I $\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ $\alpha$の因子を排除することにより、現実になります。$e^{i\psi}$

したがって、次のようになります。

β = E I φ罪（θ / 2 ）θ 0 π φ 0 2

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ とから実行することができるに、およびから実行することができるに。 $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ $\theta$$0$$\pi$$\phi$$0$$2\pi$

この実用的な単純化により、単位半径を持つ次元球面上でわずか自由度を使用してキュービットの状態を表すことができます。次の画像に示すように、再び次元表面に効率的に「描画」できます。3 $2$$3$$2$

数学的には、自由度をこれ以上下げることはできないため、Bloch球以外に単一のキュービットの「より効率的な」幾何学的表現は他にないと思います。

_{ソース：Wikipedia：Bloch_Sphere}

ブロッホ球は歴史的に、スピンを説明するために生まれました。スピンは、実際には（数学的に）直交ではなく（反）平行であると見ることができます。

直交状態が実際に直交する方法で、キュービットの状態を自然に（そしておそらくもっと自然に！）描くことができます。次に、純粋な1キュービット状態が4次元球の表面上の点を占有します。

（第一に、「評判ポイント」の要件は愚かです-この発言は前の投稿に対するコメントである必要があります。）

純粋な状態の単一の量子ビットは、振幅と位相の両方を商（つまり、複雑な正規化）するとき、3ではなく2つの実際の自由度を持ちます。したがって、最も合理的な2次元表面を使用することができます（2球体またはトポロジ的に等価なものなど）。

有用な表現を見つけることもまた別の話です。ブロッホ球は混合状態（3自由度）に自然に拡張されていますが、そうでない場合はそうではありません。